Номер 1.141, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.141. Даны векторы $\vec{a} = (1; 2)$ и $\vec{b} = (-2; 3)$. Найдите значение выражения:

1) $2\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $\vec{a} \cdot (-3\vec{b})$;

3) $(-\frac{1}{2}\vec{a}) \cdot (-\frac{1}{3}\vec{b})$;

4) $\vec{b}(\vec{a}+\vec{b})$;

5) $(\vec{a}+\vec{b})^2$;

6) $(\vec{a}-\vec{b})^2$;

7) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b}).$

Даны векторы $\vec{a} = (1; 2)$ и $\vec{b} = (-2; 3)$. Для решения задачи предварительно вычислим некоторые базовые величины, которые будут использоваться в нескольких подпунктах.

1. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4$.

2. Скалярный квадрат вектора $\vec{a}$ (квадрат его длины):

$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = x_a^2 + y_a^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

3. Скалярный квадрат вектора $\vec{b}$ (квадрат его длины):

$\vec{b}^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = x_b^2 + y_b^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

1) $2\vec{a} \cdot \vec{b}$

Используем свойство скалярного произведения $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и предварительно вычисленное значение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: $8$

2) $\vec{a} \cdot (-3\vec{b})$

Используем свойство скалярного произведения $\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и значение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

$\vec{a} \cdot (-3\vec{b}) = -3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -3 \cdot 4 = -12$.

Ответ: $-12$

3) $(-\frac{1}{2}\vec{a}) \cdot (-\frac{1}{3}\vec{b})$

Используем свойство скалярного произведения $(k\vec{u}) \cdot (m\vec{v}) = km(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и значение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

$(-\frac{1}{2}\vec{a}) \cdot (-\frac{1}{3}\vec{b}) = (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3})(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{6}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4) $\vec{b}(\vec{a} + \vec{b})$

Данное выражение представляет собой скалярное произведение $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$. Используем дистрибутивное свойство скалярного произведения: $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2$.

Используя предварительно вычисленные значения $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ и $\vec{b}^2 = 13$, получаем:

$4 + 13 = 17$.

Ответ: $17$

5) $(\vec{a} + \vec{b})^2$

Используем формулу квадрата суммы для скалярного произведения: $(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2$.

Подставляем ранее найденные значения $\vec{a}^2 = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ и $\vec{b}^2 = 13$:

$(\vec{a} + \vec{b})^2 = 5 + 2 \cdot 4 + 13 = 5 + 8 + 13 = 26$.

Ответ: $26$

6) $(\vec{a} - \vec{b})^2$

Используем формулу квадрата разности для скалярного произведения: $(\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2$.

Подставляем ранее найденные значения $\vec{a}^2 = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ и $\vec{b}^2 = 13$:

$(\vec{a} - \vec{b})^2 = 5 - 2 \cdot 4 + 13 = 5 - 8 + 13 = 10$.

Ответ: $10$

7) $(\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$

Данное выражение представляет собой скалярное произведение $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$. Используем формулу разности квадратов: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}^2 - \vec{b}^2$.

Подставляем ранее найденные значения $\vec{a}^2 = 5$ и $\vec{b}^2 = 13$:

$\vec{a}^2 - \vec{b}^2 = 5 - 13 = -8$.

Ответ: $-8$