Номер 1.134, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.134. Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — параллельные векторы. Докажите, что векторы:

1) $\vec{a}+3\vec{b}$ и $\vec{a}$;

2) $\vec{b}-2\vec{a}$ и $\vec{a}$ коллинеарны.

1) По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). По условию задачи, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны, что равносильно их коллинеарности. Следовательно, существует такое действительное число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$.
Рассмотрим вектор $\vec{a}+3\vec{b}$ и выразим его через $\vec{a}$:
$\vec{a}+3\vec{b} = \vec{a} + 3(k\vec{a})$
Используя свойства операций над векторами (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов), вынесем вектор $\vec{a}$ за скобки:
$\vec{a} + 3k\vec{a} = (1+3k)\vec{a}$
Поскольку вектор $\vec{a}+3\vec{b}$ представим в виде произведения вектора $\vec{a}$ на скаляр $(1+3k)$, то, по определению, векторы $\vec{a}+3\vec{b}$ и $\vec{a}$ коллинеарны.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Аналогично докажем коллинеарность векторов $\vec{b}-2\vec{a}$ и $\vec{a}$. Воспользуемся тем же условием коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{b} = k\vec{a}$ для некоторого числа $k$.
Рассмотрим вектор $\vec{b}-2\vec{a}$ и выразим его через $\vec{a}$:
$\vec{b}-2\vec{a} = k\vec{a} - 2\vec{a}$
Вынесем общий векторный множитель $\vec{a}$ за скобки:
$k\vec{a} - 2\vec{a} = (k-2)\vec{a}$
Поскольку вектор $\vec{b}-2\vec{a}$ представим в виде произведения вектора $\vec{a}$ на скаляр $(k-2)$, то векторы $\vec{b}-2\vec{a}$ и $\vec{a}$ коллинеарны.
Ответ: Что и требовалось доказать.