Номер 1.140, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.140. Пусть $| \vec{a} |=1$ и вектор $\vec{a}$ составляет с осями координат $Ox$ и $Oy$ углы, равные $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Докажите, что $\vec{a} = (\cos\alpha; \cos\beta)$ и $\cos^2\alpha + \cos^2\beta=1$.

Пусть вектор $\vec{a}$ в прямоугольной системе координат имеет координаты $(a_x; a_y)$. По условию задачи, его модуль (длина) равен $|\vec{a}| = 1$. Угол $\alpha$ — это угол между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси $Ox$, а угол $\beta$ — это угол между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси $Oy$.

Сначала докажем, что координаты вектора $\vec{a}$ равны $(\cos\alpha; \cos\beta)$.

Координата $a_x$ вектора $\vec{a}$ является его проекцией на ось $Ox$. Ее можно найти через скалярное произведение вектора $\vec{a}$ на единичный вектор (орт) оси $Ox$, который обозначается как $\vec{i} = (1; 0)$.

Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{i}$ можно вычислить двумя способами:

1. Через координаты векторов: $\vec{a} \cdot \vec{i} = a_x \cdot 1 + a_y \cdot 0 = a_x$.

2. Через модули векторов и угол между ними: $\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| \cdot |\vec{i}| \cdot \cos\alpha$.

По условию $|\vec{a}| = 1$, а длина единичного вектора $|\vec{i}| = 1$. Подставив эти значения, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{i} = 1 \cdot 1 \cdot \cos\alpha = \cos\alpha$.

Приравнивая оба выражения для скалярного произведения, находим первую координату: $a_x = \cos\alpha$.

Аналогично, координата $a_y$ является проекцией вектора $\vec{a}$ на ось $Oy$. Найдем ее через скалярное произведение с ортом оси $Oy$, то есть с вектором $\vec{j} = (0; 1)$.

1. Через координаты: $\vec{a} \cdot \vec{j} = a_x \cdot 0 + a_y \cdot 1 = a_y$.

2. Через модули и угол: $\vec{a} \cdot \vec{j} = |\vec{a}| \cdot |\vec{j}| \cdot \cos\beta = 1 \cdot 1 \cdot \cos\beta = \cos\beta$.

Приравнивая выражения, получаем вторую координату: $a_y = \cos\beta$.

Таким образом, мы установили, что координаты вектора $\vec{a}$ действительно равны $(\cos\alpha; \cos\beta)$.

Теперь докажем вторую часть утверждения: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = 1$.

Модуль вектора $\vec{a} = (a_x; a_y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $|\vec{a}|^2 = a_x^2 + a_y^2$.

Подставим в эту формулу известные нам значения: $|\vec{a}| = 1$, $a_x = \cos\alpha$ и $a_y = \cos\beta$.

$1^2 = (\cos\alpha)^2 + (\cos\beta)^2$.

Отсюда следует искомое равенство: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = 1$.

Оба утверждения доказаны.

Ответ: Доказано, что для единичного вектора $\vec{a}$ ($|\vec{a}|=1$), составляющего с осями координат $Ox$ и $Oy$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно, его координаты равны $\vec{a} = (\cos\alpha; \cos\beta)$, и выполняется тождество $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = 1$.