Номер 1.139, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.139. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точка N является серединой отрезка AO. Существует ли число k такое, что:

1) $\vec{AC} = k \vec{AO}$;2) $\vec{BO} = k \vec{BD}$;3) $\vec{OC} = k \vec{CA}$;4) $\vec{AB} = k \vec{DC}$;5) $\vec{BC} = k \vec{DA}$;6) $\vec{AN} = k \vec{CA}$;7) $\vec{NC} = k \vec{AN}$;8) $\vec{AC} = k \vec{AN}$;9) $\vec{AB} = k \vec{BC}$;10) $\vec{AO} = k \vec{BD}$?

Найдите это число, если оно существует.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма.
В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает:
$\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$
$\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$
Также для сторон параллелограмма верны равенства:
$\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.
По условию, точка $N$ — середина отрезка $AO$, следовательно, $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AO}$.

1) $\vec{AC} = k \vec{AO}$
Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AO}$ сонаправлены (направлены в одну сторону). Длина вектора $\vec{AC}$ в два раза больше длины вектора $\vec{AO}$. Следовательно, $\vec{AC} = 2 \vec{AO}$.
Ответ: $k=2$.

2) $\vec{BO} = k \vec{BD}$
Точка $O$ — середина диагонали $BD$, поэтому векторы $\vec{BO}$ и $\vec{BD}$ сонаправлены. Длина вектора $\vec{BO}$ равна половине длины вектора $\vec{BD}$. Таким образом, $\vec{BO} = \frac{1}{2} \vec{BD}$.
Ответ: $k=\frac{1}{2}$.

3) $\vec{OC} = k \vec{CA}$
Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{CA}$ лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Длина вектора $\vec{OC}$ равна половине длины вектора $\vec{AC}$ (или $\vec{CA}$), то есть $||\vec{OC}|| = \frac{1}{2} ||\vec{CA}||$. Так как векторы противоположно направлены, $\vec{OC} = -\frac{1}{2} \vec{CA}$.
Ответ: $k=-\frac{1}{2}$.

4) $\vec{AB} = k \vec{DC}$
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и равны по модулю. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Ответ: $k=1$.

5) $\vec{BC} = k \vec{DA}$
В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны, поэтому векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Отсюда следует, что $\vec{BC} = -\vec{DA}$.
Ответ: $k=-1$.

6) $\vec{AN} = k \vec{CA}$
Точка $N$ — середина $AO$, а $O$ — середина $AC$. Значит, $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AO}$ и $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Тогда $\vec{AN} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\vec{AC}\right) = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$ ($\vec{AC} = -\vec{CA}$). Подставляя, получаем $\vec{AN} = \frac{1}{4}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{4}\vec{CA}$.
Ответ: $k=-\frac{1}{4}$.

7) $\vec{NC} = k \vec{AN}$
Векторы $\vec{NC}$ и $\vec{AN}$ лежат на одной прямой и сонаправлены. Мы знаем, что $\vec{AN} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{NC}$ можно представить как разность: $\vec{NC} = \vec{AC} - \vec{AN} = \vec{AC} - \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Теперь выразим $\vec{NC}$ через $\vec{AN}$. Из $\vec{AN} = \frac{1}{4}\vec{AC}$ следует, что $\vec{AC} = 4\vec{AN}$. Подставим в выражение для $\vec{NC}$: $\vec{NC} = \frac{3}{4}(4\vec{AN}) = 3\vec{AN}$.
Ответ: $k=3$.

8) $\vec{AC} = k \vec{AN}$
Из предыдущих пунктов известно, что $\vec{AN} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Выражая $\vec{AC}$ из этого равенства, получаем $\vec{AC} = 4\vec{AN}$.
Ответ: $k=4$.

9) $\vec{AB} = k \vec{BC}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ представляют смежные стороны параллелограмма. Они не коллинеарны (не лежат на одной или параллельных прямых), если параллелограмм не вырожден в отрезок. Для невырожденного параллелограмма такое число $k$ не существует, так как один вектор нельзя выразить через другой неколлинеарный ему вектор умножением на число.
Ответ: Такого числа не существует.

10) $\vec{AO} = k \vec{BD}$
Вектор $\vec{AO}$ лежит на диагонали $AC$, а вектор $\vec{BD}$ — на диагонали $BD$. Диагонали параллелограмма пересекаются, но не лежат на одной прямой. Следовательно, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны.
Ответ: Такого числа не существует.