Страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.134. Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — параллельные векторы. Докажите, что векторы:

1) $\vec{a}+3\vec{b}$ и $\vec{a}$;

2) $\vec{b}-2\vec{a}$ и $\vec{a}$ коллинеарны.

1) По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить через другой путем умножения на некоторое число (скаляр). По условию задачи, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны, что равносильно их коллинеарности. Следовательно, существует такое действительное число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$.
Рассмотрим вектор $\vec{a}+3\vec{b}$ и выразим его через $\vec{a}$:
$\vec{a}+3\vec{b} = \vec{a} + 3(k\vec{a})$
Используя свойства операций над векторами (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов), вынесем вектор $\vec{a}$ за скобки:
$\vec{a} + 3k\vec{a} = (1+3k)\vec{a}$
Поскольку вектор $\vec{a}+3\vec{b}$ представим в виде произведения вектора $\vec{a}$ на скаляр $(1+3k)$, то, по определению, векторы $\vec{a}+3\vec{b}$ и $\vec{a}$ коллинеарны.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Аналогично докажем коллинеарность векторов $\vec{b}-2\vec{a}$ и $\vec{a}$. Воспользуемся тем же условием коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{b} = k\vec{a}$ для некоторого числа $k$.
Рассмотрим вектор $\vec{b}-2\vec{a}$ и выразим его через $\vec{a}$:
$\vec{b}-2\vec{a} = k\vec{a} - 2\vec{a}$
Вынесем общий векторный множитель $\vec{a}$ за скобки:
$k\vec{a} - 2\vec{a} = (k-2)\vec{a}$
Поскольку вектор $\vec{b}-2\vec{a}$ представим в виде произведения вектора $\vec{a}$ на скаляр $(k-2)$, то векторы $\vec{b}-2\vec{a}$ и $\vec{a}$ коллинеарны.
Ответ: Что и требовалось доказать.

1.135. Найдите угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1)

$ \vec{a}=(1; 0) $, $ \vec{b}=(2; 2) $;

2)

$ \vec{a}=(1; 1) $, $ \vec{b}=(-1; \sqrt{3}) $;

3)

$ \vec{a}=(-\sqrt{3}; 3) $, $ \vec{b}=(0; 1) $;

4)

$ \vec{a}=(2; 0) $, $ \vec{b}=(1; -\sqrt{3}) $.

Для нахождения угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}=(x_1; y_1)$ и $\vec{b}=(x_2; y_2)$ используется формула, основанная на скалярном произведении векторов. Косинус угла между векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин (модулей):
$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$
Применим эту формулу для решения каждого подпункта.

1) Для векторов $\vec{a}=(1; 0)$ и $\vec{b}=(2; 2)$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 2 = 2$.
Вычислим модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$, $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{2}{1 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2) Для векторов $\vec{a}=(1; 1)$ и $\vec{b}=(-1; \sqrt{3})$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}-1$.
Вычислим модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.
Значение косинуса $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ соответствует углу $\alpha = 75^\circ$.
Ответ: $75^\circ$.

3) Для векторов $\vec{a}=(-\sqrt{3}; 3)$ и $\vec{b}=(0; 1)$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{3}) \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 3$.
Вычислим модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$.
Найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

4) Для векторов $\vec{a}=(2; 0)$ и $\vec{b}=(1; -\sqrt{3})$.
Вычислим скалярное произведение: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-\sqrt{3}) = 2$.
Вычислим модули векторов: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$, $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, угол $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

1.136. Какие векторы взаимно перпендикулярны:

1) $\vec{a} = (2; 5), \vec{b} = (-10; 4);$

2) $\vec{c} = (1; 2), \vec{d} = (1; -3);$

3) $\vec{p} = (3; 1), \vec{q} = (2; -6)?$

Два вектора являются взаимно перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{u} = (x_1; y_1)$ и $\vec{v} = (x_2; y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Проверим каждую пару векторов на это условие.

1) Векторы $\vec{a} = (2; 5)$ и $\vec{b} = (-10; 4)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-10) + 5 \cdot 4 = -20 + 20 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ взаимно перпендикулярны.

Ответ: Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ взаимно перпендикулярны.

2) Векторы $\vec{c} = (1; 2)$ и $\vec{d} = (1; -3)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{c} \cdot \vec{d} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) = 1 - 6 = -5$.

Поскольку скалярное произведение не равно нулю ($-5 \neq 0$), векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ не являются взаимно перпендикулярными.

Ответ: Векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ не являются взаимно перпендикулярными.

3) Векторы $\vec{p} = (3; 1)$ и $\vec{q} = (2; -6)$.

Найдем скалярное произведение этих векторов:

$\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot (-6) = 6 - 6 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ взаимно перпендикулярны.

Ответ: Векторы $\vec{p}$ и $\vec{q}$ взаимно перпендикулярны.

1.137. Найдите $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ и угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен:

1) $60^\circ$;

2) $135^\circ$;

3) $90^\circ$;

4) $0^\circ$;

5) $180^\circ$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$,

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\alpha$ — это угол между ними.

В данной задаче нам даны модули векторов $|\vec{a}|=2$ и $|\vec{b}|=3$. Мы будем подставлять эти значения, а также заданные значения угла $\alpha$ в формулу для каждого из пунктов.

1) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $60^\circ$.

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Ответ: 3.

2) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $135^\circ$.

Значение косинуса $135^\circ$ равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2}$.

Ответ: $-3\sqrt{2}$.

3) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $90^\circ$.

Значение косинуса $90^\circ$ равно $0$. В этом случае векторы перпендикулярны (ортогональны).

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(90^\circ) = 6 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

4) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $0^\circ$.

Значение косинуса $0^\circ$ равно $1$. В этом случае векторы коллинеарны и сонаправлены.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(0^\circ) = 6 \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6.

5) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $180^\circ$.

Значение косинуса $180^\circ$ равно $-1$. В этом случае векторы коллинеарны и противоположно направлены.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(180^\circ) = 6 \cdot (-1) = -6$.

Ответ: -6.

1.138. Пусть:
1) $\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}$, $|\vec{m}|=0,5$ см, $|\vec{n}|=2$ см;
2) $\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$, $|\vec{m}|=12$ см, $|\vec{n}|=24$ см. Найдите число $k$ такое, что $\vec{n}=k\vec{m}$.

1) По определению умножения вектора на число, если $\vec{n} = k\vec{m}$, то модули векторов связаны соотношением $|\vec{n}| = |k| \cdot |\vec{m}|$. По условию задачи, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены ($\vec{m} \uparrow\downarrow \vec{n}$). Это означает, что коэффициент $k$ является отрицательным числом ($k < 0$). Подставим данные значения длин векторов в формулу для модулей: $|\vec{m}| = 0,5$ см $|\vec{n}| = 2$ см $2 = |k| \cdot 0,5$ Отсюда находим модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{2}{0,5} = 4$ Так как мы установили, что $k < 0$, то искомое значение $k = -4$.
Ответ: $k = -4$.

2) Аналогично первому пункту, используем соотношение модулей $|\vec{n}| = |k| \cdot |\vec{m}|$. По условию задачи, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ сонаправлены ($\vec{m} \uparrow\uparrow \vec{n}$). Это означает, что коэффициент $k$ является положительным числом ($k > 0$). Подставим данные значения длин векторов в формулу: $|\vec{m}| = 12$ см $|\vec{n}| = 24$ см $24 = |k| \cdot 12$ Отсюда находим модуль коэффициента $k$: $|k| = \frac{24}{12} = 2$ Так как мы установили, что $k > 0$, то искомое значение $k = 2$.
Ответ: $k = 2$.

1.139. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, а точка N является серединой отрезка AO. Существует ли число k такое, что:

1) $\vec{AC} = k \vec{AO}$;2) $\vec{BO} = k \vec{BD}$;3) $\vec{OC} = k \vec{CA}$;4) $\vec{AB} = k \vec{DC}$;5) $\vec{BC} = k \vec{DA}$;6) $\vec{AN} = k \vec{CA}$;7) $\vec{NC} = k \vec{AN}$;8) $\vec{AC} = k \vec{AN}$;9) $\vec{AB} = k \vec{BC}$;10) $\vec{AO} = k \vec{BD}$?

Найдите это число, если оно существует.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма.
В параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает:
$\vec{AO} = \vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{AC}$
$\vec{BO} = \vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{BD}$
Также для сторон параллелограмма верны равенства:
$\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.
По условию, точка $N$ — середина отрезка $AO$, следовательно, $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AO}$.

1) $\vec{AC} = k \vec{AO}$
Точка $O$ — середина диагонали $AC$, поэтому векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AO}$ сонаправлены (направлены в одну сторону). Длина вектора $\vec{AC}$ в два раза больше длины вектора $\vec{AO}$. Следовательно, $\vec{AC} = 2 \vec{AO}$.
Ответ: $k=2$.

2) $\vec{BO} = k \vec{BD}$
Точка $O$ — середина диагонали $BD$, поэтому векторы $\vec{BO}$ и $\vec{BD}$ сонаправлены. Длина вектора $\vec{BO}$ равна половине длины вектора $\vec{BD}$. Таким образом, $\vec{BO} = \frac{1}{2} \vec{BD}$.
Ответ: $k=\frac{1}{2}$.

3) $\vec{OC} = k \vec{CA}$
Векторы $\vec{OC}$ и $\vec{CA}$ лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Длина вектора $\vec{OC}$ равна половине длины вектора $\vec{AC}$ (или $\vec{CA}$), то есть $||\vec{OC}|| = \frac{1}{2} ||\vec{CA}||$. Так как векторы противоположно направлены, $\vec{OC} = -\frac{1}{2} \vec{CA}$.
Ответ: $k=-\frac{1}{2}$.

4) $\vec{AB} = k \vec{DC}$
В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и равны по модулю. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Ответ: $k=1$.

5) $\vec{BC} = k \vec{DA}$
В параллелограмме $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны и равны, поэтому векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Отсюда следует, что $\vec{BC} = -\vec{DA}$.
Ответ: $k=-1$.

6) $\vec{AN} = k \vec{CA}$
Точка $N$ — середина $AO$, а $O$ — середина $AC$. Значит, $\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AO}$ и $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. Тогда $\vec{AN} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\vec{AC}\right) = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$ ($\vec{AC} = -\vec{CA}$). Подставляя, получаем $\vec{AN} = \frac{1}{4}(-\vec{CA}) = -\frac{1}{4}\vec{CA}$.
Ответ: $k=-\frac{1}{4}$.

7) $\vec{NC} = k \vec{AN}$
Векторы $\vec{NC}$ и $\vec{AN}$ лежат на одной прямой и сонаправлены. Мы знаем, что $\vec{AN} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Вектор $\vec{NC}$ можно представить как разность: $\vec{NC} = \vec{AC} - \vec{AN} = \vec{AC} - \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{AC}$. Теперь выразим $\vec{NC}$ через $\vec{AN}$. Из $\vec{AN} = \frac{1}{4}\vec{AC}$ следует, что $\vec{AC} = 4\vec{AN}$. Подставим в выражение для $\vec{NC}$: $\vec{NC} = \frac{3}{4}(4\vec{AN}) = 3\vec{AN}$.
Ответ: $k=3$.

8) $\vec{AC} = k \vec{AN}$
Из предыдущих пунктов известно, что $\vec{AN} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. Выражая $\vec{AC}$ из этого равенства, получаем $\vec{AC} = 4\vec{AN}$.
Ответ: $k=4$.

9) $\vec{AB} = k \vec{BC}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ представляют смежные стороны параллелограмма. Они не коллинеарны (не лежат на одной или параллельных прямых), если параллелограмм не вырожден в отрезок. Для невырожденного параллелограмма такое число $k$ не существует, так как один вектор нельзя выразить через другой неколлинеарный ему вектор умножением на число.
Ответ: Такого числа не существует.

10) $\vec{AO} = k \vec{BD}$
Вектор $\vec{AO}$ лежит на диагонали $AC$, а вектор $\vec{BD}$ — на диагонали $BD$. Диагонали параллелограмма пересекаются, но не лежат на одной прямой. Следовательно, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BD}$ не коллинеарны.
Ответ: Такого числа не существует.

1.140. Пусть $| \vec{a} |=1$ и вектор $\vec{a}$ составляет с осями координат $Ox$ и $Oy$ углы, равные $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Докажите, что $\vec{a} = (\cos\alpha; \cos\beta)$ и $\cos^2\alpha + \cos^2\beta=1$.

Пусть вектор $\vec{a}$ в прямоугольной системе координат имеет координаты $(a_x; a_y)$. По условию задачи, его модуль (длина) равен $|\vec{a}| = 1$. Угол $\alpha$ — это угол между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси $Ox$, а угол $\beta$ — это угол между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси $Oy$.

Сначала докажем, что координаты вектора $\vec{a}$ равны $(\cos\alpha; \cos\beta)$.

Координата $a_x$ вектора $\vec{a}$ является его проекцией на ось $Ox$. Ее можно найти через скалярное произведение вектора $\vec{a}$ на единичный вектор (орт) оси $Ox$, который обозначается как $\vec{i} = (1; 0)$.

Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{i}$ можно вычислить двумя способами:

1. Через координаты векторов: $\vec{a} \cdot \vec{i} = a_x \cdot 1 + a_y \cdot 0 = a_x$.

2. Через модули векторов и угол между ними: $\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| \cdot |\vec{i}| \cdot \cos\alpha$.

По условию $|\vec{a}| = 1$, а длина единичного вектора $|\vec{i}| = 1$. Подставив эти значения, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{i} = 1 \cdot 1 \cdot \cos\alpha = \cos\alpha$.

Приравнивая оба выражения для скалярного произведения, находим первую координату: $a_x = \cos\alpha$.

Аналогично, координата $a_y$ является проекцией вектора $\vec{a}$ на ось $Oy$. Найдем ее через скалярное произведение с ортом оси $Oy$, то есть с вектором $\vec{j} = (0; 1)$.

1. Через координаты: $\vec{a} \cdot \vec{j} = a_x \cdot 0 + a_y \cdot 1 = a_y$.

2. Через модули и угол: $\vec{a} \cdot \vec{j} = |\vec{a}| \cdot |\vec{j}| \cdot \cos\beta = 1 \cdot 1 \cdot \cos\beta = \cos\beta$.

Приравнивая выражения, получаем вторую координату: $a_y = \cos\beta$.

Таким образом, мы установили, что координаты вектора $\vec{a}$ действительно равны $(\cos\alpha; \cos\beta)$.

Теперь докажем вторую часть утверждения: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = 1$.

Модуль вектора $\vec{a} = (a_x; a_y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат: $|\vec{a}|^2 = a_x^2 + a_y^2$.

Подставим в эту формулу известные нам значения: $|\vec{a}| = 1$, $a_x = \cos\alpha$ и $a_y = \cos\beta$.

$1^2 = (\cos\alpha)^2 + (\cos\beta)^2$.

Отсюда следует искомое равенство: $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = 1$.

Оба утверждения доказаны.

Ответ: Доказано, что для единичного вектора $\vec{a}$ ($|\vec{a}|=1$), составляющего с осями координат $Ox$ и $Oy$ углы $\alpha$ и $\beta$ соответственно, его координаты равны $\vec{a} = (\cos\alpha; \cos\beta)$, и выполняется тождество $\cos^2\alpha + \cos^2\beta = 1$.

1.141. Даны векторы $\vec{a} = (1; 2)$ и $\vec{b} = (-2; 3)$. Найдите значение выражения:

1) $2\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $\vec{a} \cdot (-3\vec{b})$;

3) $(-\frac{1}{2}\vec{a}) \cdot (-\frac{1}{3}\vec{b})$;

4) $\vec{b}(\vec{a}+\vec{b})$;

5) $(\vec{a}+\vec{b})^2$;

6) $(\vec{a}-\vec{b})^2$;

7) $(\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b}).$

Даны векторы $\vec{a} = (1; 2)$ и $\vec{b} = (-2; 3)$. Для решения задачи предварительно вычислим некоторые базовые величины, которые будут использоваться в нескольких подпунктах.

1. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4$.

2. Скалярный квадрат вектора $\vec{a}$ (квадрат его длины):

$\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = x_a^2 + y_a^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

3. Скалярный квадрат вектора $\vec{b}$ (квадрат его длины):

$\vec{b}^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = x_b^2 + y_b^2 = (-2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

1) $2\vec{a} \cdot \vec{b}$

Используем свойство скалярного произведения $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и предварительно вычисленное значение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2 \cdot 4 = 8$.

Ответ: $8$

2) $\vec{a} \cdot (-3\vec{b})$

Используем свойство скалярного произведения $\vec{u} \cdot (k\vec{v}) = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и значение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

$\vec{a} \cdot (-3\vec{b}) = -3(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -3 \cdot 4 = -12$.

Ответ: $-12$

3) $(-\frac{1}{2}\vec{a}) \cdot (-\frac{1}{3}\vec{b})$

Используем свойство скалярного произведения $(k\vec{u}) \cdot (m\vec{v}) = km(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и значение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

$(-\frac{1}{2}\vec{a}) \cdot (-\frac{1}{3}\vec{b}) = (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3})(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{6}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

4) $\vec{b}(\vec{a} + \vec{b})$

Данное выражение представляет собой скалярное произведение $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$. Используем дистрибутивное свойство скалярного произведения: $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2$.

Используя предварительно вычисленные значения $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ и $\vec{b}^2 = 13$, получаем:

$4 + 13 = 17$.

Ответ: $17$

5) $(\vec{a} + \vec{b})^2$

Используем формулу квадрата суммы для скалярного произведения: $(\vec{a} + \vec{b})^2 = \vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2$.

Подставляем ранее найденные значения $\vec{a}^2 = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ и $\vec{b}^2 = 13$:

$(\vec{a} + \vec{b})^2 = 5 + 2 \cdot 4 + 13 = 5 + 8 + 13 = 26$.

Ответ: $26$

6) $(\vec{a} - \vec{b})^2$

Используем формулу квадрата разности для скалярного произведения: $(\vec{a} - \vec{b})^2 = \vec{a}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2$.

Подставляем ранее найденные значения $\vec{a}^2 = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ и $\vec{b}^2 = 13$:

$(\vec{a} - \vec{b})^2 = 5 - 2 \cdot 4 + 13 = 5 - 8 + 13 = 10$.

Ответ: $10$

7) $(\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$

Данное выражение представляет собой скалярное произведение $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$. Используем формулу разности квадратов: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a}^2 - \vec{b}^2$.

Подставляем ранее найденные значения $\vec{a}^2 = 5$ и $\vec{b}^2 = 13$:

$\vec{a}^2 - \vec{b}^2 = 5 - 13 = -8$.

Ответ: $-8$