Страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.127. Докажите, что ненулевые векторы $ \vec{a} = (m; n) $ и $ \vec{b} = (-n; m) $ являются перпендикулярными.

Два ненулевых вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Чтобы доказать перпендикулярность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, мы должны показать, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Нам даны векторы с координатами $\vec{a} = (m; n)$ и $\vec{b} = (-n; m)$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u} = (x_1; y_1)$ и $\vec{v} = (x_2; y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле:$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Применим эту формулу к нашим векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$\vec{a} \cdot \vec{b} = m \cdot (-n) + n \cdot m$.

Упростим полученное выражение:$\vec{a} \cdot \vec{b} = -mn + nm = 0$.

Поскольку скалярное произведение данных векторов равно нулю и по условию они являются ненулевыми (то есть $|\vec{a}| \ne 0$ и $|\vec{b}| \ne 0$), мы можем сделать вывод, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

Ответ: Скалярное произведение данных векторов равно $\vec{a} \cdot \vec{b} = m(-n) + n(m) = -mn + mn = 0$. Так как скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, они перпендикулярны, что и требовалось доказать.

1.128. При каком значении $m$ векторы $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (m; 2)$ являются перпендикулярными?

2) Два вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю. Даны векторы $\vec{a} = (3; 4)$ и $\vec{b} = (m; 2)$. Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в координатной форме вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$. Подставим координаты данных векторов в эту формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot m + 4 \cdot 2 = 3m + 8$. Так как по условию векторы перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю: $3m + 8 = 0$. Теперь решим это линейное уравнение относительно переменной $m$: $3m = -8$. $m = -\frac{8}{3}$.
Ответ: $m = -\frac{8}{3}$.

1.129. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{a} = (1; 1)$ и $\vec{b} = (2; 3);

2) $\vec{c} = (0; 4)$ и $\vec{d} = (-1; 2);

3) $\vec{m} = (0; \sqrt{3})$ и $\vec{n} = (2; \sqrt{3}).

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u} = (x_1; y_1)$ и $\vec{v} = (x_2; y_2)$, заданных своими координатами на плоскости, вычисляется по формуле: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.

1) Для векторов $\vec{a} = (1; 1)$ и $\vec{b} = (2; 3)$ найдем скалярное произведение, подставив их координаты в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 2 + 3 = 5$.
Ответ: 5

2) Для векторов $\vec{c} = (0; 4)$ и $\vec{d} = (-1; 2)$ найдем скалярное произведение:
$\vec{c} \cdot \vec{d} = 0 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = 0 + 8 = 8$.
Ответ: 8

3) Для векторов $\vec{m} = (0; \sqrt{3})$ и $\vec{n} = (2; \sqrt{3})$ найдем скалярное произведение:
$\vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \cdot 2 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 0 + 3 = 3$.
Ответ: 3

1.130. Являются ли следующие векторы перпендикулярными:

1) $\vec{a} = (2; 3)$ и $\vec{b} = (3; -2)$;

2) $\vec{a} = (-5; 1)$ и $\vec{b} = (-1; 5)$?

Два вектора являются перпендикулярными (или ортогональными) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
Следовательно, условие перпендикулярности векторов имеет вид: $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.

1) $\vec{a} = (2; 3)$ и $\vec{b} = (3; -2)$
Проверим выполнение условия перпендикулярности для данной пары векторов. Вычислим их скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, данные векторы перпендикулярны.
Ответ: да, являются.

2) $\vec{a} = (-5; 1)$ и $\vec{b} = (-1; 5)$
Вычислим скалярное произведение для второй пары векторов:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-5) \cdot (-1) + 1 \cdot 5 = 5 + 5 = 10$.
Поскольку скалярное произведение не равно нулю ($10 \neq 0$), данные векторы не являются перпендикулярными.
Ответ: нет, не являются.

1.131. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) $\vec{a}=(a; 0)$, $\vec{b}=(b; 0)$;

2) $\vec{a}=(a; 0)$, $\vec{b}=(0; b)$;

3) $\vec{a}=(a; b)$, $\vec{b}=(a; b)$;

4) $\vec{a}=(a; b)$, $\vec{b}=(-a; -b)$.

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$, вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

1) Для векторов $\vec{a} = (a; 0)$ и $\vec{b} = (b; 0)$ скалярное произведение равно:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot b + 0 \cdot 0 = ab$.
Ответ: $ab$.

2) Для векторов $\vec{a} = (a; 0)$ и $\vec{b} = (0; b)$ скалярное произведение равно:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot 0 + 0 \cdot b = 0 + 0 = 0$.
Ответ: $0$.

3) Для векторов $\vec{a} = (a; b)$ и $\vec{b} = (a; b)$ скалярное произведение равно:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot a + b \cdot b = a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + b^2$.

4) Для векторов $\vec{a} = (a; b)$ и $\vec{b} = (-a; -b)$ скалярное произведение равно:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a \cdot (-a) + b \cdot (-b) = -a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$.
Ответ: $-(a^2 + b^2)$.

1.132. Будут ли векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарными, если:

1) $\vec{a} = (-2; 1)$, $\vec{b} = (4; -2)$;

2) $\vec{a} = (1; -3)$, $\vec{b} = (1; 3)$;

3) $\vec{a} = (3; -2)$, $\vec{b} = (-3; 2)$;

4) $\vec{a} = (1; 0)$, $\vec{b} = (3; 0)$;

5) $\vec{a} = (0; -1)$, $\vec{b} = (1; 0)$;

6) $\vec{a} = (0; 0)$, $\vec{b} = (-2; 3)?

Два вектора $\vec{a} = (x_1; y_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $\vec{b} = k\vec{a}$. Это означает, что их координаты пропорциональны. Условие пропорциональности координат можно проверить с помощью равенства $x_1y_2 = x_2y_1$, или, что то же самое, $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$. Нулевой вектор $\vec{0}=(0;0)$ по определению коллинеарен любому вектору.

1) $\vec{a} = (-2; 1)$, $\vec{b} = (4; -2)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$(-2) \cdot (-2) - 4 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, векторы коллинеарны. Также можно заметить, что $\vec{b} = -2\vec{a}$.
Ответ: да, коллинеарны.

2) $\vec{a} = (1; -3)$, $\vec{b} = (1; 3)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$1 \cdot 3 - 1 \cdot (-3) = 3 + 3 = 6$.
Так как $6 \neq 0$, векторы не коллинеарны.
Ответ: нет, не коллинеарны.

3) $\vec{a} = (3; -2)$, $\vec{b} = (-3; 2)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$3 \cdot 2 - (-3) \cdot (-2) = 6 - 6 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, векторы коллинеарны. Также можно заметить, что $\vec{b} = -1\vec{a}$.
Ответ: да, коллинеарны.

4) $\vec{a} = (1; 0)$, $\vec{b} = (3; 0)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$1 \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.
Условие выполняется, следовательно, векторы коллинеарны. Также можно заметить, что $\vec{b} = 3\vec{a}$.
Ответ: да, коллинеарны.

5) $\vec{a} = (0; -1)$, $\vec{b} = (1; 0)$
Проверим условие коллинеарности $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$.
$0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) = 0 + 1 = 1$.
Так как $1 \neq 0$, векторы не коллинеарны.
Ответ: нет, не коллинеарны.

6) $\vec{a} = (0; 0)$, $\vec{b} = (-2; 3)$
Вектор $\vec{a}$ является нулевым вектором. По определению, нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору. Это следует из того, что для любого вектора $\vec{b}$ можно записать $\vec{a} = 0 \cdot \vec{b}$.
Ответ: да, коллинеарны.

1.133. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Покажите, что имеет место равенство $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$, если $\vec{a}=(x; y)$, $\vec{b}=(u; v)$ и $\vec{a} \parallel \vec{b}$.

Задача состоит из двух связанных частей: доказательства общего утверждения и показа справедливости конкретного равенства, которое из него следует. Решим их последовательно.

Доказательство того, что если два вектора коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны

По определению, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными (пишется $\vec{a} \parallel \vec{b}$), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что существует такое число $k$, называемое коэффициентом пропорциональности, что выполняется равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ или $\vec{b} = k\vec{a}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору.

Пусть даны два вектора на плоскости с их координатами: $\vec{a}=(x; y)$ и $\vec{b}=(u; v)$.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Один из векторов — нулевой.Пусть, например, $\vec{b} = \vec{0}$. Это значит, что его координаты $u=0$ и $v=0$. По определению, вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$. Мы можем записать $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a}$, что в координатах выглядит как $(0; 0) = 0 \cdot (x; y)$, то есть $0 = 0 \cdot x$ и $0 = 0 \cdot y$. Это верные равенства, которые показывают, что координаты вектора $\vec{b}$ пропорциональны координатам вектора $\vec{a}$ с коэффициентом $k=0$. Аналогично, если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} = 0 \cdot \vec{b}$, и его координаты $(0;0)$ пропорциональны координатам $(u;v)$.

2. Оба вектора ненулевые.Если $\vec{a} \parallel \vec{b}$ и оба вектора не равны нулевому вектору, то существует такое действительное число $k \neq 0$, что $\vec{a} = k\vec{b}$.Запишем это векторное равенство в координатной форме:$(x; y) = k \cdot (u; v)$$(x; y) = (ku; kv)$

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Отсюда мы получаем систему из двух уравнений:$x = ku$$y = kv$

Эти равенства по определению означают, что координаты $(x; y)$ вектора $\vec{a}$ пропорциональны координатам $(u; v)$ вектора $\vec{b}$ с коэффициентом пропорциональности $k$.Если координаты вектора $\vec{b}$ не равны нулю ($u \neq 0$ и $v \neq 0$), то можно записать:$\frac{x}{u} = k$ и $\frac{y}{v} = k$, откуда следует равенство $\frac{x}{u} = \frac{y}{v}$.Если одна из координат вектора $\vec{b}$ равна нулю, например $u=0$ (поскольку $\vec{b} \neq \vec{0}$, то $v \neq 0$), то из равенства $x=ku$ следует, что $x=k \cdot 0 = 0$. Таким образом, если первая координата вектора $\vec{b}$ равна нулю, то и первая координата коллинеарного ему вектора $\vec{a}$ также будет равна нулю. Пропорциональность сохраняется.Следовательно, во всех случаях для коллинеарных векторов их соответствующие координаты пропорциональны.

Ответ: Утверждение доказано.

Показ справедливости равенства $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$

Дано, что векторы $\vec{a}=(x; y)$ и $\vec{b}=(u; v)$ коллинеарны ($\vec{a} \parallel \vec{b}$). Необходимо показать, что имеет место равенство $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$.

Запись дробей $\frac{x}{y}$ и $\frac{u}{v}$ предполагает, что знаменатели не равны нулю, то есть $y \neq 0$ и $v \neq 0$. Это означает, что оба вектора не являются нулевыми и не параллельны оси абсцисс (оси Ox).

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и не являются нулевыми, существует такое число $k \neq 0$, что один вектор можно выразить через другой. Возьмем, например, соотношение $\vec{b} = k\vec{a}$.

Запишем это равенство в координатах:$(u; v) = k \cdot (x; y)$$(u; v) = (kx; ky)$

Из этого векторного равенства следует система скалярных равенств для координат:$u = kx$$v = ky$

Теперь рассмотрим отношение $\frac{u}{v}$, подставив в него выражения для $u$ и $v$:$\frac{u}{v} = \frac{kx}{ky}$

Так как по условию $v \neq 0$, из равенства $v=ky$ следует, что $k \neq 0$ и $y \neq 0$. Поэтому мы имеем право сократить дробь на $k$:$\frac{u}{v} = \frac{x}{y}$

Таким образом, мы показали, что равенство $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$ действительно имеет место для коллинеарных векторов $\vec{a}=(x; y)$ и $\vec{b}=(u; v)$ при $y \neq 0$ и $v \neq 0$.

Ответ: Равенство показано.