Страница 48 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

2. Какие векторы называются базисными векторами на плоскости?

3. Что вы понимаете под координатами вектора и как их обозначают?

4. Напишите координаты векторов.

5. Какие свойства координат векторов вы знаете? Докажите их.

6. Какой вектор называется радиус-вектором точки A?

7. Как определяются координаты вектора, если заданы координаты его концов?

8. По какой формуле определяется модуль вектора?

1. Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

Теорема: Любой вектор на плоскости можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Иначе говоря, если векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ неколлинеарны, то для любого вектора $ \vec{p} $ существует единственная пара чисел $x$ и $y$ такая, что $ \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} $.

Доказательство:

1. Существование.
Пусть $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ — два неколлинеарных вектора, и $ \vec{p} $ — произвольный вектор на плоскости. Отложим от произвольной точки $O$ векторы $ \vec{OA} = \vec{a} $, $ \vec{OB} = \vec{b} $ и $ \vec{OP} = \vec{p} $.

Проведем через точку $P$ прямую, параллельную прямой $OB$, до пересечения с прямой $OA$ в точке $P_a$. Также проведем через точку $P$ прямую, параллельную прямой $OA$, до пересечения с прямой $OB$ в точке $P_b$.
По построению четырехугольник $OP_aPP_b$ является параллелограммом. По правилу параллелограмма для сложения векторов имеем: $ \vec{OP} = \vec{OP_a} + \vec{OP_b} $.
Вектор $ \vec{OP_a} $ лежит на прямой $OA$, значит, он коллинеарен вектору $ \vec{a} $. Следовательно, существует такое число $x$, что $ \vec{OP_a} = x\vec{a} $.
Аналогично, вектор $ \vec{OP_b} $ лежит на прямой $OB$, значит, он коллинеарен вектору $ \vec{b} $. Следовательно, существует такое число $y$, что $ \vec{OP_b} = y\vec{b} $.
Подставив эти выражения в равенство, получим: $ \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} $. Существование разложения доказано.

2. Единственность.
Докажем, что числа $x$ и $y$ единственны. Предположим, что существует другая пара чисел $x'$ и $y'$, для которой также выполняется равенство: $ \vec{p} = x'\vec{a} + y'\vec{b} $.
Тогда $ x\vec{a} + y\vec{b} = x'\vec{a} + y'\vec{b} $.
Перенесем члены с $ \vec{a} $ в одну сторону, а с $ \vec{b} $ — в другую:
$ x\vec{a} - x'\vec{a} = y'\vec{b} - y\vec{b} $
$ (x - x')\vec{a} = (y' - y)\vec{b} $
Это равенство возможно в двух случаях:
1) Если коэффициенты $(x - x')$ и $(y' - y)$ оба равны нулю. Тогда $x = x'$ и $y = y'$, что доказывает единственность.
2) Если коэффициенты не равны нулю. Например, если $x - x' \neq 0$, то можно выразить $ \vec{a} $: $ \vec{a} = \frac{y' - y}{x - x'}\vec{b} $. Это равенство означает, что вектор $ \vec{a} $ коллинеарен вектору $ \vec{b} $, так как он получается из $ \vec{b} $ умножением на скаляр $ k = \frac{y' - y}{x - x'} $. Но это противоречит начальному условию, что векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ неколлинеарны.
Следовательно, наше предположение о существовании другой пары коэффициентов неверно. Коэффициенты разложения $x$ и $y$ определяются однозначно. Теорема доказана.
Ответ: Любой вектор на плоскости можно представить в виде $ \vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} $ для неколлинеарных векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, причем пара чисел $(x, y)$ единственна.

2. Какие векторы называются базисными векторами на плоскости?

Базисными векторами (или базисом) на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов. С помощью базиса можно однозначно представить любой другой вектор на этой плоскости в виде их линейной комбинации.
Ответ: Базисные векторы на плоскости — это любая пара неколлинеарных векторов.

3. Что вы понимаете под координатами вектора и как их обозначают?

Координатами вектора в данном базисе называются коэффициенты в разложении этого вектора по базисным векторам. Если $ (\vec{e_1}, \vec{e_2}) $ — базис на плоскости, и вектор $ \vec{a} $ представлен в виде $ \vec{a} = x\vec{e_1} + y\vec{e_2} $, то числа $x$ и $y$ являются его координатами в этом базисе.
Обозначают координаты вектора $ \vec{a} $ следующим образом: $ \vec{a}\{x; y\} $ или $ \vec{a} = (x, y) $.
Ответ: Координаты вектора — это коэффициенты его разложения по базису. Обозначаются как $ \vec{a}\{x; y\} $.

4. Напишите координаты векторов.

Поскольку конкретные векторы не указаны, рассмотрим координаты базисных векторов и нулевого вектора в базисе $ (\vec{e_1}, \vec{e_2}) $.
1. Для первого базисного вектора $ \vec{e_1} $ разложение имеет вид: $ \vec{e_1} = 1 \cdot \vec{e_1} + 0 \cdot \vec{e_2} $. Следовательно, его координаты $ \{1; 0\} $.
2. Для второго базисного вектора $ \vec{e_2} $ разложение имеет вид: $ \vec{e_2} = 0 \cdot \vec{e_1} + 1 \cdot \vec{e_2} $. Следовательно, его координаты $ \{0; 1\} $.
3. Для нулевого вектора $ \vec{0} $ разложение имеет вид: $ \vec{0} = 0 \cdot \vec{e_1} + 0 \cdot \vec{e_2} $. Следовательно, его координаты $ \{0; 0\} $.
Ответ: В базисе $ (\vec{e_1}, \vec{e_2}) $ координаты векторов: $ \vec{e_1}\{1; 0\} $, $ \vec{e_2}\{0; 1\} $, $ \vec{0}\{0; 0\} $.

5. Какие свойства координат векторов вы знаете? Докажите их.

Координаты векторов обладают следующими свойствами:
1. Сложение векторов: каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
2. Вычитание векторов: каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
3. Умножение на скаляр: каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Доказательство:
Пусть в некотором базисе $ (\vec{e_1}, \vec{e_2}) $ заданы векторы $ \vec{a}\{x_1; y_1\} $ и $ \vec{b}\{x_2; y_2\} $. Это означает, что $ \vec{a} = x_1\vec{e_1} + y_1\vec{e_2} $ и $ \vec{b} = x_2\vec{e_1} + y_2\vec{e_2} $.
1. Сложение: Найдем сумму векторов $ \vec{a} + \vec{b} $:
$ \vec{a} + \vec{b} = (x_1\vec{e_1} + y_1\vec{e_2}) + (x_2\vec{e_1} + y_2\vec{e_2}) = (x_1 + x_2)\vec{e_1} + (y_1 + y_2)\vec{e_2} $.
Из определения координат следует, что вектор $ \vec{a} + \vec{b} $ имеет координаты $ \{x_1 + x_2; y_1 + y_2\} $.
2. Вычитание: Найдем разность векторов $ \vec{a} - \vec{b} $:
$ \vec{a} - \vec{b} = (x_1\vec{e_1} + y_1\vec{e_2}) - (x_2\vec{e_1} + y_2\vec{e_2}) = (x_1 - x_2)\vec{e_1} + (y_1 - y_2)\vec{e_2} $.
Следовательно, вектор $ \vec{a} - \vec{b} $ имеет координаты $ \{x_1 - x_2; y_1 - y_2\} $.
3. Умножение на скаляр: Найдем произведение вектора $ \vec{a} $ на скаляр $k$:
$ k\vec{a} = k(x_1\vec{e_1} + y_1\vec{e_2}) = (kx_1)\vec{e_1} + (ky_1)\vec{e_2} $.
Следовательно, вектор $ k\vec{a} $ имеет координаты $ \{kx_1; ky_1\} $.
Ответ: Свойства координат: $ \vec{a}\{x_1; y_1\} + \vec{b}\{x_2; y_2\} = \vec{c}\{x_1+x_2; y_1+y_2\} $; $ \vec{a}\{x_1; y_1\} - \vec{b}\{x_2; y_2\} = \vec{d}\{x_1-x_2; y_1-y_2\} $; $ k \cdot \vec{a}\{x_1; y_1\} = \vec{f}\{kx_1; ky_1\} $.

6. Какой вектор называется радиус-вектором точки А?

Радиус-вектором точки А называется вектор, начало которого совпадает с началом координат (точкой О), а конец — с точкой А. Обозначается как $ \vec{OA} $.
В заданной системе координат координаты точки А совпадают с координатами ее радиус-вектора. Если точка А имеет координаты $(x_A, y_A)$, то ее радиус-вектор $ \vec{OA} $ имеет координаты $ \{x_A; y_A\} $.
Ответ: Радиус-вектор точки А — это вектор $ \vec{OA} $, где O — начало координат.

7. Как определяются координаты вектора, если заданы координаты его концов?

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала.
Пусть дан вектор $ \vec{AB} $, где точка A (начало) имеет координаты $ (x_1, y_1) $, а точка B (конец) — $ (x_2, y_2) $.
Вектор $ \vec{AB} $ можно выразить через радиус-векторы его концов $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $ по правилу треугольника: $ \vec{OA} + \vec{AB} = \vec{OB} $.
Отсюда $ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} $.
Радиус-вектор $ \vec{OA} $ имеет координаты $ \{x_1; y_1\} $, а $ \vec{OB} $ — $ \{x_2; y_2\} $.
Используя правило вычитания векторов в координатах, получаем, что координаты вектора $ \vec{AB} $ равны $ \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $.
Ответ: Координаты вектора $ \vec{AB} $ с началом в точке $ A(x_1, y_1) $ и концом в точке $ B(x_2, y_2) $ равны $ \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $.

8. По какой формуле определяется модуль вектора?

Модуль (или длина) вектора $ \vec{a}\{x; y\} $, заданного в прямоугольной (декартовой) системе координат, вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора:
$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $
Эта формула соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника, катетами которого являются проекции вектора на оси координат, равные $x$ и $y$.
Если вектор задан координатами своих концов $ A(x_1, y_1) $ и $ B(x_2, y_2) $, то сначала находятся его координаты: $ \vec{AB}\{x_2 - x_1; y_2 - y_1\} $. Затем его модуль вычисляется по той же формуле:
$ |\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $
Эта формула также является формулой расстояния между двумя точками на плоскости.
Ответ: Модуль вектора $ \vec{a}\{x; y\} $ вычисляется по формуле $ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} $.