Страница 49 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

В прямоугольной системе координат выберите точки $A$ и $B$ с целочисленными координатами. С помощью измерительных приборов измерьте длину отрезка $AB$. Результаты измерения проверьте с помощью формулы (5).

Для выполнения этого задания мы последовательно выполним три шага: выберем точки и построим их на координатной плоскости, измерим расстояние между ними и проверим результат с помощью формулы.

1. Выбор точек и построение в системе координат

Выберем в прямоугольной системе координат две точки с целочисленными координатами. Пусть это будут точка A с координатами $(2, 1)$ и точка B с координатами $(6, 4)$. Построим эти точки и соединяющий их отрезок AB. Для наглядности и дальнейших вычислений достроим отрезок AB до прямоугольного треугольника ABC, проведя через точку A прямую, параллельную оси абсцисс, а через точку B — прямую, параллельную оси ординат. Точка их пересечения C будет иметь координаты $(6, 1)$.

Ответ: Выбраны точки A(2, 1) и B(6, 4). Построен график с отрезком AB и вспомогательным прямоугольным треугольником ABC.

2. Измерение длины отрезка AB

Теперь воспользуемся измерительным прибором, например, линейкой. Примем за единицу измерения длину одной клетки координатной сетки (единичный отрезок). Приложив линейку к отрезку AB на рисунке, мы увидим, что его длина в точности равна 5 таким единичным отрезкам.

Ответ: Длина отрезка AB, измеренная с помощью линейки, составляет 5 единичных отрезков.

3. Проверка результата с помощью формулы (5)

Проверим результат измерения, используя формулу (5) — формулу для нахождения расстояния $d$ между двумя точками A($x_1$, $y_1$) и B($x_2$, $y_2$) на координатной плоскости. Эта формула является следствием теоремы Пифагора для построенного нами треугольника ABC.

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты наших точек A(2, 1) и B(6, 4) в эту формулу. Здесь $x_1 = 2$, $y_1 = 1$, $x_2 = 6$, $y_2 = 4$.

Выполним вычисления:

$AB = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 - 1)^2}$

$AB = \sqrt{4^2 + 3^2}$

$AB = \sqrt{16 + 9}$

$AB = \sqrt{25}$

$AB = 5$

Расчетное значение длины отрезка AB равно 5. Этот результат полностью совпадает со значением, полученным при измерении линейкой.

Ответ: Длина отрезка AB, вычисленная по формуле, равна 5.

Таким образом, результат, полученный путем прямого измерения, совпал с результатом, полученным аналитически по формуле. Это подтверждает верность формулы (5) и точность выполненных построений и измерений.

1.96. Определите координаты радиус-вектора $OA$ :

1) $A(1; -2)$;

2) $A(0; 3)$;

3) $A(-2; 0)$;

4) $A(\sqrt{2}; 0,7)$.

Радиус-вектор точки A (обозначается как $\vec{OA}$) — это вектор, начало которого находится в начале координат, точке O(0; 0), а конец — в точке A($x_A$; $y_A$).

Координаты любого вектора, например $\vec{PQ}$, с началом в точке P($x_1$; $y_1$) и концом в точке Q($x_2$; $y_2$), находятся путем вычитания координат начальной точки из соответствующих координат конечной точки по формуле:

$\vec{PQ} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$

Применяя эту формулу для нахождения координат радиус-вектора $\vec{OA}$, мы вычитаем координаты точки O(0; 0) из координат точки A($x_A$; $y_A$):

$\vec{OA} = (x_A - 0; y_A - 0) = (x_A; y_A)$

Отсюда следует важное правило: координаты радиус-вектора точки всегда совпадают с координатами этой точки.

Используя это правило, определим координаты радиус-вектора $\vec{OA}$ для каждого из заданных случаев.

1) Для точки A(1; -2) координаты ее радиус-вектора $\vec{OA}$ совпадают с координатами точки А.
Ответ: Координаты радиус-вектора $\vec{OA}$ равны (1; -2).

2) Для точки A(0; 3) координаты ее радиус-вектора $\vec{OA}$ совпадают с координатами точки А.
Ответ: Координаты радиус-вектора $\vec{OA}$ равны (0; 3).

3) Для точки A(-2; 0) координаты ее радиус-вектора $\vec{OA}$ совпадают с координатами точки А.
Ответ: Координаты радиус-вектора $\vec{OA}$ равны (-2; 0).

4) Для точки A($\sqrt{2}$; 0,7) координаты ее радиус-вектора $\vec{OA}$ совпадают с координатами точки А.
Ответ: Координаты радиус-вектора $\vec{OA}$ равны ($\sqrt{2}$; 0,7).

1.97. В прямоугольной системе координат $Oxy$ отложите векторы $\vec{a}=(3; 0)$, $\vec{b}=(2; -1)$, $\vec{c}=(0; -3)$, $\vec{d}=(1; 1)$, $\vec{e}=(2; \sqrt{2})$ от начала координат.

Для того чтобы отложить вектор с заданными координатами от начала координат в прямоугольной системе координат $Oxy$, необходимо построить направленный отрезок. Началом этого отрезка будет точка начала координат $O(0;0)$, а концом — точка, координаты которой совпадают с координатами вектора.

Таким образом, для каждого вектора мы находим его конечную точку, откладывая его от начала координат:

Вектор $\vec{a}=(3; 0)$: Начало в точке $O(0;0)$, конец в точке $A(3;0)$. Этот вектор лежит на положительной части оси $Ox$.

Вектор $\vec{b}=(2; -1)$: Начало в точке $O(0;0)$, конец в точке $B(2;-1)$. Этот вектор расположен в четвертой координатной четверти.

Вектор $\vec{c}=(0; -3)$: Начало в точке $O(0;0)$, конец в точке $C(0;-3)$. Этот вектор лежит на отрицательной части оси $Oy$.

Вектор $\vec{d}=(1; 1)$: Начало в точке $O(0;0)$, конец в точке $D(1;1)$. Этот вектор расположен в первой координатной четверти и лежит на биссектрисе координатного угла.

Вектор $\vec{e}=(2; \sqrt{2})$: Начало в точке $O(0;0)$, конец в точке $E(2; \sqrt{2})$. Учитывая, что $\sqrt{2} \approx 1.414$, точка конца вектора имеет приблизительные координаты $(2; 1.414)$. Этот вектор также расположен в первой координатной четверти.

Ответ:

Графическое представление векторов, отложенных от начала координат:

1.98. Определите координаты вектора $\vec{AB}$:

1) $A(0; 1)$, $B(1; 0);$

2) $A(-2; 1)$, $B(-4; 2);$

3) $A(p; q)$, $B(-p; -q).$

Чтобы определить координаты вектора $\vec{AB}$, необходимо из координат его конечной точки B вычесть соответствующие координаты начальной точки A. Если точка A имеет координаты $(x_A; y_A)$, а точка B имеет координаты $(x_B; y_B)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ находятся по формуле:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

Применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

1) Даны точки $A(0; 1)$ и $B(1; 0)$.

Находим координаты вектора $\vec{AB}$:

$x = 1 - 0 = 1$

$y = 0 - 1 = -1$

Следовательно, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(1; -1)$.

Ответ: $\vec{AB}(1; -1)$.

2) Даны точки $A(-2; 1)$ и $B(-4; 2)$.

Находим координаты вектора $\vec{AB}$:

$x = -4 - (-2) = -4 + 2 = -2$

$y = 2 - 1 = 1$

Следовательно, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(-2; 1)$.

Ответ: $\vec{AB}(-2; 1)$.

3) Даны точки $A(p; q)$ и $B(-p; -q)$.

Находим координаты вектора $\vec{AB}$:

$x = -p - p = -2p$

$y = -q - q = -2q$

Следовательно, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(-2p; -2q)$.

Ответ: $\vec{AB}(-2p; -2q)$.

1.99. Найдите координаты суммы $\vec{a} + \vec{b}$ и разности $\vec{a} - \vec{b}$:

1) $\vec{a}=(0;1), \vec{b}=(1;0);$ 2) $\vec{a}=(-2;1), \vec{b}=(4;-3);$ 3) $\vec{a}=(\sqrt{2}; \frac{1}{3}), \vec{b}=(-\sqrt{2}; \frac{1}{6});$ 4) $\vec{a}=(\frac{2}{7}; -0,6), \vec{b}=(4; \frac{1}{3}).$

Чтобы найти координаты суммы или разности двух векторов, заданных своими координатами, необходимо выполнить соответствующую арифметическую операцию (сложение или вычитание) с их одноименными координатами.

Если даны векторы $\vec{a}=(x_1; y_1)$ и $\vec{b}=(x_2; y_2)$, то:

Координаты суммы векторов: $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2; y_1+y_2)$.

Координаты разности векторов: $\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2; y_1-y_2)$.

1) Даны векторы $\vec{a}=(0;1)$ и $\vec{b}=(1;0)$.

Находим координаты суммы $\vec{a}+\vec{b}$:
$\vec{a}+\vec{b} = (0+1; 1+0) = (1;1)$.

Находим координаты разности $\vec{a}-\vec{b}$:
$\vec{a}-\vec{b} = (0-1; 1-0) = (-1;1)$.

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}=(1;1)$, $\vec{a}-\vec{b}=(-1;1)$.

2) Даны векторы $\vec{a}=(-2;1)$ и $\vec{b}=(4;-3)$.

Находим координаты суммы $\vec{a}+\vec{b}$:
$\vec{a}+\vec{b} = (-2+4; 1+(-3)) = (2;-2)$.

Находим координаты разности $\vec{a}-\vec{b}$:
$\vec{a}-\vec{b} = (-2-4; 1-(-3)) = (-6; 4)$.

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}=(2;-2)$, $\vec{a}-\vec{b}=(-6;4)$.

3) Даны векторы $\vec{a}=(\sqrt{2}; \frac{1}{3})$ и $\vec{b}=(-\sqrt{2}; \frac{1}{6})$.

Находим координаты суммы $\vec{a}+\vec{b}$:
$\vec{a}+\vec{b} = (\sqrt{2}+(-\sqrt{2}); \frac{1}{3}+\frac{1}{6}) = (0; \frac{2}{6}+\frac{1}{6}) = (0; \frac{3}{6}) = (0; \frac{1}{2})$.

Находим координаты разности $\vec{a}-\vec{b}$:
$\vec{a}-\vec{b} = (\sqrt{2}-(-\sqrt{2}); \frac{1}{3}-\frac{1}{6}) = (2\sqrt{2}; \frac{2}{6}-\frac{1}{6}) = (2\sqrt{2}; \frac{1}{6})$.

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}=(0; \frac{1}{2})$, $\vec{a}-\vec{b}=(2\sqrt{2}; \frac{1}{6})$.

4) Даны векторы $\vec{a}=(\frac{2}{7}; -0,6)$ и $\vec{b}=(4; \frac{1}{3})$.

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $-0,6$ в виде обыкновенной: $-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
Таким образом, $\vec{a}=(\frac{2}{7}; -\frac{3}{5})$.

Находим координаты суммы $\vec{a}+\vec{b}$:
$\vec{a}+\vec{b} = (\frac{2}{7}+4; -\frac{3}{5}+\frac{1}{3}) = (\frac{2}{7}+\frac{28}{7}; -\frac{9}{15}+\frac{5}{15}) = (\frac{30}{7}; -\frac{4}{15})$.

Находим координаты разности $\vec{a}-\vec{b}$:
$\vec{a}-\vec{b} = (\frac{2}{7}-4; -\frac{3}{5}-\frac{1}{3}) = (\frac{2}{7}-\frac{28}{7}; -\frac{9}{15}-\frac{5}{15}) = (-\frac{26}{7}; -\frac{14}{15})$.

Ответ: $\vec{a}+\vec{b}=(\frac{30}{7}; -\frac{4}{15})$, $\vec{a}-\vec{b}=(-\frac{26}{7}; -\frac{14}{15})$.

1.100. Даны вектор $\vec{a} =(4; -2)$ и число $\lambda$. Найдите координаты вектора $\lambda \vec{a}$ если:

1) $\lambda=2$;

2) $\lambda=-3$;

3) $\lambda=\frac{1}{2}$;

4) $\lambda=\sqrt{3}$.

Чтобы найти координаты вектора, умноженного на число, необходимо каждую координату исходного вектора умножить на это число. Если дан вектор $\vec{a} = (x; y)$ и число $\lambda$, то координаты вектора $\lambda\vec{a}$ будут равны $(\lambda x; \lambda y)$.

В нашем случае дан вектор $\vec{a} = (4; -2)$. Найдем координаты вектора $\lambda\vec{a}$ для каждого из заданных значений $\lambda$.

1) Если $\lambda = 2$:
Координаты вектора $2\vec{a}$ равны $(2 \cdot 4; 2 \cdot (-2))$.
Выполняем умножение: $(8; -4)$.
Ответ: $(8; -4)$.

2) Если $\lambda = -3$:
Координаты вектора $-3\vec{a}$ равны $(-3 \cdot 4; -3 \cdot (-2))$.
Выполняем умножение: $(-12; 6)$.
Ответ: $(-12; 6)$.

3) Если $\lambda = \frac{1}{2}$:
Координаты вектора $\frac{1}{2}\vec{a}$ равны $(\frac{1}{2} \cdot 4; \frac{1}{2} \cdot (-2))$.
Выполняем умножение: $(2; -1)$.
Ответ: $(2; -1)$.

4) Если $\lambda = \sqrt{3}$:
Координаты вектора $\sqrt{3}\vec{a}$ равны $(\sqrt{3} \cdot 4; \sqrt{3} \cdot (-2))$.
Выполняем умножение: $(4\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.
Ответ: $(4\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.

1.101. Даны точки $A(1; 2)$, $B(-3; 0)$, $C(4; -2)$. Определите координаты и модули векторов: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{BC}$, $\vec{AB} + \vec{AC}$, $\vec{AB} - \vec{BC}$.

Даны точки с координатами $A(1; 2)$, $B(-3; 0)$, $C(4; -2)$. Для решения задачи воспользуемся следующими определениями:

1. Координаты вектора $\vec{XY}$, идущего из точки $X(x_1, y_1)$ в точку $Y(x_2, y_2)$, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора: $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

2. Модуль (длина) вектора $\vec{a}=(a_x, a_y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

3. Координаты суммы или разности векторов равны сумме или разности соответствующих координат этих векторов.

$\vec{AB}$

Находим координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - 1; 0 - 2) = (-4; -2)$.

Находим модуль вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $\vec{AB} = (-4; -2)$, $|\vec{AB}| = 2\sqrt{5}$.

$\vec{AC}$

Находим координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (4 - 1; -2 - 2) = (3; -4)$.

Находим модуль вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $\vec{AC} = (3; -4)$, $|\vec{AC}| = 5$.

$\vec{BC}$

Находим координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - (-3); -2 - 0) = (7; -2)$.

Находим модуль вектора $\vec{BC}$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$.

Ответ: $\vec{BC} = (7; -2)$, $|\vec{BC}| = \sqrt{53}$.

$\vec{AB} + \vec{AC}$

Сначала находим координаты вектора-суммы, используя ранее вычисленные координаты $\vec{AB}=(-4; -2)$ и $\vec{AC}=(3; -4)$:

$\vec{AB} + \vec{AC} = (-4 + 3; -2 + (-4)) = (-1; -6)$.

Теперь находим модуль полученного вектора:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$.

Ответ: $\vec{AB} + \vec{AC} = (-1; -6)$, $|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{37}$.

$\vec{AB} - \vec{BC}$

Находим координаты вектора-разности, используя ранее вычисленные координаты $\vec{AB}=(-4; -2)$ и $\vec{BC}=(7; -2)$:

$\vec{AB} - \vec{BC} = (-4 - 7; -2 - (-2)) = (-11; 0)$.

Находим модуль полученного вектора:

$|\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{(-11)^2 + 0^2} = \sqrt{121} = 11$.

Ответ: $\vec{AB} - \vec{BC} = (-11; 0)$, $|\vec{AB} - \vec{BC}| = 11$.

1.102. Даны точки A(1; 2), B(-3; 0), C(4; -2). Определите координаты точки D так, чтобы выполнялось равенство:

1) $\vec{AB} = \vec{CD}$;

2) $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Даны точки $A(1; 2)$, $B(-3; 0)$, $C(4; -2)$. Необходимо найти координаты точки $D(x_D; y_D)$.

Координаты вектора, заданного двумя точками, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора. Для вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_M; y_M)$ и концом в точке $N(x_N; y_N)$ координаты будут: $\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M)$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - 1; 0 - 2) = (-4; -2)$.

1) $\vec{AB} = \vec{CD}$

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, где $C(4; -2)$ и $D(x_D; y_D)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (x_D - 4; y_D - (-2)) = (x_D - 4; y_D + 2)$.

По условию $\vec{AB} = \vec{CD}$. Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Составим систему уравнений, приравнивая координаты векторов:

$\begin{cases} x_D - 4 = -4 \\ y_D + 2 = -2 \end{cases}$

Решим эту систему:

$x_D = -4 + 4 \implies x_D = 0$

$y_D = -2 - 2 \implies y_D = -4$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(0; -4)$.

Ответ: $D(0; -4)$.

2) $\vec{AB} = \vec{DC}$

Координаты вектора $\vec{AB}$ нам уже известны: $\vec{AB} = (-4; -2)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$, где $D(x_D; y_D)$ и $C(4; -2)$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (4 - x_D; -2 - y_D)$.

По условию $\vec{AB} = \vec{DC}$. Приравниваем соответствующие координаты векторов:

$\begin{cases} 4 - x_D = -4 \\ -2 - y_D = -2 \end{cases}$

Решим полученную систему:

$-x_D = -4 - 4 \implies -x_D = -8 \implies x_D = 8$

$-y_D = -2 + 2 \implies -y_D = 0 \implies y_D = 0$

Следовательно, координаты точки $D$ равны $(8; 0)$.

Ответ: $D(8; 0)$.

1.103. Даны точки A(0; 1), B(1; 0), C(1; 2), D(2; 1). Равны ли векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{CD} $?

Для того чтобы определить, равны ли векторы, необходимо найти их координаты. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Координаты вектора, заданного координатами его начала $P_1(x_1, y_1)$ и конца $P_2(x_2, y_2)$, вычисляются по формуле: $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$
Начало вектора — точка $A(0; 1)$.
Конец вектора — точка $B(1; 0)$.
Координаты вектора $\vec{AB}$ равны: $(1 - 0; 0 - 1) = (1; -1)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$
Начало вектора — точка $C(1; 2)$.
Конец вектора — точка $D(2; 1)$.
Координаты вектора $\vec{CD}$ равны: $(2 - 1; 1 - 2) = (1; -1)$.

3. Сравним координаты векторов
Координаты вектора $\vec{AB}$ — $(1; -1)$.
Координаты вектора $\vec{CD}$ — $(1; -1)$.
Так как соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны ($1=1$ и $-1=-1$), то векторы равны.

Ответ: да, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны.