Номер 1.101, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.101. Даны точки $A(1; 2)$, $B(-3; 0)$, $C(4; -2)$. Определите координаты и модули векторов: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{BC}$, $\vec{AB} + \vec{AC}$, $\vec{AB} - \vec{BC}$.

Даны точки с координатами $A(1; 2)$, $B(-3; 0)$, $C(4; -2)$. Для решения задачи воспользуемся следующими определениями:

1. Координаты вектора $\vec{XY}$, идущего из точки $X(x_1, y_1)$ в точку $Y(x_2, y_2)$, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора: $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

2. Модуль (длина) вектора $\vec{a}=(a_x, a_y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

3. Координаты суммы или разности векторов равны сумме или разности соответствующих координат этих векторов.

$\vec{AB}$

Находим координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - 1; 0 - 2) = (-4; -2)$.

Находим модуль вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $\vec{AB} = (-4; -2)$, $|\vec{AB}| = 2\sqrt{5}$.

$\vec{AC}$

Находим координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (4 - 1; -2 - 2) = (3; -4)$.

Находим модуль вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: $\vec{AC} = (3; -4)$, $|\vec{AC}| = 5$.

$\vec{BC}$

Находим координаты вектора $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - (-3); -2 - 0) = (7; -2)$.

Находим модуль вектора $\vec{BC}$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53}$.

Ответ: $\vec{BC} = (7; -2)$, $|\vec{BC}| = \sqrt{53}$.

$\vec{AB} + \vec{AC}$

Сначала находим координаты вектора-суммы, используя ранее вычисленные координаты $\vec{AB}=(-4; -2)$ и $\vec{AC}=(3; -4)$:

$\vec{AB} + \vec{AC} = (-4 + 3; -2 + (-4)) = (-1; -6)$.

Теперь находим модуль полученного вектора:

$|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$.

Ответ: $\vec{AB} + \vec{AC} = (-1; -6)$, $|\vec{AB} + \vec{AC}| = \sqrt{37}$.

$\vec{AB} - \vec{BC}$

Находим координаты вектора-разности, используя ранее вычисленные координаты $\vec{AB}=(-4; -2)$ и $\vec{BC}=(7; -2)$:

$\vec{AB} - \vec{BC} = (-4 - 7; -2 - (-2)) = (-11; 0)$.

Находим модуль полученного вектора:

$|\vec{AB} - \vec{BC}| = \sqrt{(-11)^2 + 0^2} = \sqrt{121} = 11$.

Ответ: $\vec{AB} - \vec{BC} = (-11; 0)$, $|\vec{AB} - \vec{BC}| = 11$.