Номер 1.108, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.108. Найдите координаты единичного вектора, который с положительным направлением оси $Ox$ образует угол: $0^{\circ}$; $30^{\circ}$; $45^{\circ}$; $60^{\circ}$; $120^{\circ}$; $135^{\circ}$; $150^{\circ}$; $180^{\circ}$.

Пусть $\vec{e}$ — единичный вектор, образующий угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$. Координаты такого вектора $(x, y)$ в общем случае находятся по формулам: $x = |\vec{e}| \cos \alpha$ и $y = |\vec{e}| \sin \alpha$.

Поскольку по условию задачи вектор является единичным, его длина (модуль) $|\vec{e}| = 1$. Следовательно, его координаты можно найти по упрощенным формулам: $x = \cos \alpha$ и $y = \sin \alpha$.

Рассчитаем координаты для каждого из заданных углов.

0°

При $\alpha = 0°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(0°) = 1$
$y = \sin(0°) = 0$

Ответ: $(1, 0)$.

30°

При $\alpha = 30°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(30°) = \frac{1}{2}$

Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

45°

При $\alpha = 45°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

60°

При $\alpha = 60°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(60°) = \frac{1}{2}$
$y = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

120°

При $\alpha = 120°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(120°) = \cos(180° - 60°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

135°

При $\alpha = 135°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(135°) = \cos(180° - 45°) = -\cos(45°) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$y = \sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

150°

При $\alpha = 150°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$

Ответ: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$.

180°

При $\alpha = 180°$ координаты единичного вектора равны:
$x = \cos(180°) = -1$
$y = \sin(180°) = 0$

Ответ: $(-1, 0)$.