Номер 1.102, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.102. Даны точки A(1; 2), B(-3; 0), C(4; -2). Определите координаты точки D так, чтобы выполнялось равенство:

1) $\vec{AB} = \vec{CD}$;

2) $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Даны точки $A(1; 2)$, $B(-3; 0)$, $C(4; -2)$. Необходимо найти координаты точки $D(x_D; y_D)$.

Координаты вектора, заданного двумя точками, вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора. Для вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_M; y_M)$ и концом в точке $N(x_N; y_N)$ координаты будут: $\vec{MN} = (x_N - x_M; y_N - y_M)$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - 1; 0 - 2) = (-4; -2)$.

1) $\vec{AB} = \vec{CD}$

Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, где $C(4; -2)$ и $D(x_D; y_D)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (x_D - 4; y_D - (-2)) = (x_D - 4; y_D + 2)$.

По условию $\vec{AB} = \vec{CD}$. Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Составим систему уравнений, приравнивая координаты векторов:

$\begin{cases} x_D - 4 = -4 \\ y_D + 2 = -2 \end{cases}$

Решим эту систему:

$x_D = -4 + 4 \implies x_D = 0$

$y_D = -2 - 2 \implies y_D = -4$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $(0; -4)$.

Ответ: $D(0; -4)$.

2) $\vec{AB} = \vec{DC}$

Координаты вектора $\vec{AB}$ нам уже известны: $\vec{AB} = (-4; -2)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$, где $D(x_D; y_D)$ и $C(4; -2)$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (4 - x_D; -2 - y_D)$.

По условию $\vec{AB} = \vec{DC}$. Приравниваем соответствующие координаты векторов:

$\begin{cases} 4 - x_D = -4 \\ -2 - y_D = -2 \end{cases}$

Решим полученную систему:

$-x_D = -4 - 4 \implies -x_D = -8 \implies x_D = 8$

$-y_D = -2 + 2 \implies -y_D = 0 \implies y_D = 0$

Следовательно, координаты точки $D$ равны $(8; 0)$.

Ответ: $D(8; 0)$.