Номер 1.107, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.107. Единичный вектор $\vec{a}$ образует угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$. Докажите, что $\vec{a}=(\cos\alpha; \sin\alpha)$ есть координаты этого вектора.

Пусть в прямоугольной системе координат $Oxy$ единичный вектор $\vec{a}$ отложен от начала координат, точки $O(0; 0)$. Тогда его конечная точка, назовем ее $A$, будет иметь координаты $(x; y)$, и, соответственно, вектор $\vec{a}$ будет иметь координаты $\vec{a}=(x; y)$.

По условию, вектор $\vec{a}$ является единичным. Это означает, что его длина (модуль) равна 1. Длина вектора $\vec{a}=(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Следовательно, мы имеем равенство $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$.

Также по условию, вектор $\vec{a}$ образует угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$.

Рассмотрим положение вектора на координатной плоскости. Опустим из точки $A(x; y)$ перпендикуляр на ось $Ox$. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $P$. Мы получим прямоугольный треугольник $\triangle OPA$, в котором:

• гипотенуза $OA$ — это длина вектора $\vec{a}$, то есть $OA = |\vec{a}| = 1$;
• катет $OP$ — это проекция вектора на ось $Ox$, его длина равна $|x|$;
• катет $PA$ — это проекция вектора на ось $Oy$, его длина равна $|y|$;
• угол $\angle POA$ — это угол $\alpha$ между вектором и положительным направлением оси $Ox$.

Согласно определениям тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике (которые обобщаются на всю числовую окружность, что делает доказательство верным для любого угла $\alpha$):

Косинус угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. В нашем случае координата $x$ является длиной прилежащего катета (с учетом знака в зависимости от четверти).

$ \cos \alpha = \frac{OP}{OA} = \frac{x}{|\vec{a}|} = \frac{x}{1} = x $

Синус угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае координата $y$ является длиной противолежащего катета (с учетом знака).

$ \sin \alpha = \frac{PA}{OA} = \frac{y}{|\vec{a}|} = \frac{y}{1} = y $

Таким образом, мы установили, что координата $x$ вектора $\vec{a}$ равна $\cos \alpha$, а координата $y$ равна $\sin \alpha$.

Следовательно, координаты единичного вектора $\vec{a}$ есть $(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Исходя из определения тригонометрических функций для точки на единичной окружности, ее координаты $(x, y)$ напрямую соответствуют значениям $(\cos\alpha, \sin\alpha)$, где $\alpha$ — угол, образованный радиус-вектором точки с положительным направлением оси $Ox$. Так как единичный вектор, отложенный от начала координат, является радиус-вектором точки на единичной окружности, его координаты равны $(\cos\alpha; \sin\alpha)$.