Номер 1.106, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.106. Даны точки A(1; 1), B(3; -1), C(7; 3). Найдите координаты и модуль вектора:

1) $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$;

2) $\vec{AB} + 2\vec{BC}$;

3) $3\vec{AB} - 2\vec{AC}$;

4) $\vec{AB} + 2\vec{BC} - 3\vec{AC}$.

Даны точки A(1; 1), B(3; -1), C(7; 3). Для решения задачи сначала найдем координаты базовых векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$.

Координаты вектора, заданного двумя точками $P(x_1; y_1)$ и $Q(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{PQ} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

$\vec{AB} = (3 - 1; -1 - 1) = (2; -2)$

$\vec{AC} = (7 - 1; 3 - 1) = (6; 2)$

$\vec{BC} = (7 - 3; 3 - (-1)) = (4; 4)$

Модуль (длина) вектора $\vec{a} = (x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

1) $\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{BC}$

Координаты векторов были найдены выше. Теперь найдем их модули.

Модуль вектора $\vec{AB}=(2; -2)$: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Модуль вектора $\vec{AC}=(6; 2)$: $|\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Модуль вектора $\vec{BC}=(4; 4)$: $|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: $\vec{AB}=(2; -2), |\vec{AB}|=2\sqrt{2}$; $\vec{AC}=(6; 2), |\vec{AC}|=2\sqrt{10}$; $\vec{BC}=(4; 4), |\vec{BC}|=4\sqrt{2}$.

2) $\vec{AB} + 2\vec{BC}$

Сначала найдем координаты результирующего вектора, выполнив операции над координатами исходных векторов.

$\vec{AB} + 2\vec{BC} = (2; -2) + 2 \cdot (4; 4) = (2; -2) + (8; 8) = (2+8; -2+8) = (10; 6)$.

Теперь найдем модуль полученного вектора $(10; 6)$.

$|\vec{AB} + 2\vec{BC}| = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100+36} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$.

Ответ: Координаты $(10; 6)$, модуль $2\sqrt{34}$.

3) $3\vec{AB} - 2\vec{AC}$

Найдем координаты результирующего вектора.

$3\vec{AB} - 2\vec{AC} = 3 \cdot (2; -2) - 2 \cdot (6; 2) = (6; -6) - (12; 4) = (6-12; -6-4) = (-6; -10)$.

Найдем модуль полученного вектора $(-6; -10)$.

$|3\vec{AB} - 2\vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-10)^2} = \sqrt{36+100} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \cdot 34} = 2\sqrt{34}$.

Ответ: Координаты $(-6; -10)$, модуль $2\sqrt{34}$.

4) $\vec{AB} + 2\vec{BC} - 3\vec{AC}$

Найдем координаты результирующего вектора.

$\vec{AB} + 2\vec{BC} - 3\vec{AC} = (2; -2) + 2 \cdot (4; 4) - 3 \cdot (6; 2) = (2; -2) + (8; 8) - (18; 6) = (2+8-18; -2+8-6) = (-8; 0)$.

Найдем модуль полученного вектора $(-8; 0)$.

$|\vec{AB} + 2\vec{BC} - 3\vec{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: Координаты $(-8; 0)$, модуль $8$.