Номер 1.109, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.109. Даны точки $A(1; -3)$, $B(8; 0)$, $C(4; 8)$, $D(-3; 5)$.

Покажите, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD с заданными координатами вершин A(1; -3), B(8; 0), C(4; 8), D(-3; 5) является параллелограммом, можно использовать различные свойства параллелограмма. Рассмотрим два метода доказательства.

Способ 1: Использование векторов

Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда вектор, соответствующий одной его стороне, равен вектору, соответствующему противолежащей стороне. Проверим, выполняется ли равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Координаты вектора с началом в точке $(x_1, y_1)$ и концом в точке $(x_2, y_2)$ находятся по формуле $(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (8 - 1; 0 - (-3)) = (7; 3)$

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (4 - (-3); 8 - 5) = (4 + 3; 3) = (7; 3)$

Поскольку координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ совпадают, векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Равенство векторов означает, что отрезки AB и DC параллельны и равны по длине. Это является достаточным признаком параллелограмма.

Ответ: Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Способ 2: Использование середин диагоналей

Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей AC и BD должны совпадать.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам $x_c = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Найдем координаты середины диагонали AC, обозначим ее M:

$x_M = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

$y_M = \frac{-3 + 8}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, точка M имеет координаты $(2.5; 2.5)$.

Найдем координаты середины диагонали BD, обозначим ее N:

$x_N = \frac{8 + (-3)}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

$y_N = \frac{0 + 5}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, точка N имеет координаты $(2.5; 2.5)$.

Координаты середин диагоналей AC и BD совпадают (M = N), следовательно, диагонали пересекаются в своей середине. Это доказывает, что ABCD — параллелограмм.

Ответ: Так как середины диагоналей AC и BD совпадают, четырехугольник ABCD является параллелограммом.