Номер 1.115, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.115. При каких значениях $m$ треугольник, вершины которого расположены в точках $A(1; 3)$, $B(2; -1)$, $C(4; m)$, является равнобедренным?

Для того чтобы треугольник с вершинами в точках $A(1; 3)$, $B(2; -1)$, $C(4; m)$ был равнобедренным, необходимо, чтобы длины как минимум двух его сторон были равны. Найдем квадраты длин сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат длины стороны $AB$:

$AB^2 = (2 - 1)^2 + (-1 - 3)^2 = 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

Квадрат длины стороны $BC$:

$BC^2 = (4 - 2)^2 + (m - (-1))^2 = 2^2 + (m + 1)^2 = 4 + m^2 + 2m + 1 = m^2 + 2m + 5$.

Квадрат длины стороны $AC$:

$AC^2 = (4 - 1)^2 + (m - 3)^2 = 3^2 + (m - 3)^2 = 9 + m^2 - 6m + 9 = m^2 - 6m + 18$.

Заметим, что точки $A$, $B$ и $C$ не должны лежать на одной прямой. Это происходит, если угловые коэффициенты отрезков $AB$ и $AC$ равны. Угловой коэффициент $k_{AB} = \frac{-1 - 3}{2 - 1} = -4$. Угловой коэффициент $k_{AC} = \frac{m - 3}{4 - 1} = \frac{m - 3}{3}$. Из равенства $k_{AB} = k_{AC}$ следует, что $-4 = \frac{m-3}{3}$, откуда $m=-9$. При $m = -9$ точки коллинеарны и не образуют треугольник, поэтому это значение нужно исключить из итогового ответа.

Рассмотрим три возможных случая для равнобедренного треугольника.

Случай $AB = AC$

Приравниваем квадраты длин сторон: $AB^2 = AC^2$.

$17 = m^2 - 6m + 18$

$m^2 - 6m + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 32$. Корни уравнения: $m = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Случай $AB = BC$

Приравниваем квадраты длин сторон: $AB^2 = BC^2$.

$17 = m^2 + 2m + 5$

$m^2 + 2m - 12 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 52$. Корни уравнения: $m = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -1 \pm \sqrt{13}$.

Случай $AC = BC$

Приравниваем квадраты длин сторон: $AC^2 = BC^2$.

$m^2 - 6m + 18 = m^2 + 2m + 5$

$-6m + 18 = 2m + 5$

$13 = 8m \implies m = \frac{13}{8}$.

Все найденные значения $m$ ($3 \pm 2\sqrt{2}$, $-1 \pm \sqrt{13}$ и $\frac{13}{8}$) не равны $-9$, следовательно, являются решениями задачи.

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$, $3 + 2\sqrt{2}$, $-1 - \sqrt{13}$, $-1 + \sqrt{13}$, $\frac{13}{8}$.