Номер 1.120, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.120. Найдите числа x и y при условии, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны и:

1) $3\vec{a}-x\vec{b} = y\vec{a}+\vec{b};$

2) $4\vec{a}+5\vec{b}-x\vec{a}+y\vec{b}=\vec{0};$

3) $x\vec{a}+3\vec{b}-y\vec{b}=\vec{0}.$

1) Для решения задачи воспользуемся свойством неколлинеарных векторов: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ выполняется тогда и только тогда, когда коэффициенты $m$ и $n$ равны нулю.Исходное уравнение: $3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}$.Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$:$3\vec{a} - x\vec{b} - y\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$(3 - y)\vec{a} + (-x - 1)\vec{b} = \vec{0}$Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю. Это дает нам систему из двух уравнений:$3 - y = 0$$-x - 1 = 0$Решая эту систему, находим:Из первого уравнения $y = 3$.Из второго уравнения $-x = 1$, следовательно, $x = -1$.Ответ: $x = -1, y = 3$.

2) Рассмотрим уравнение $4\vec{a} + 5\vec{b} - x\vec{a} + y\vec{b} = \vec{0}$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми векторами:$(4 - x)\vec{a} + (5 + y)\vec{b} = \vec{0}$Используя условие, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, мы можем утверждать, что коэффициенты при этих векторах должны быть равны нулю. Составляем систему уравнений:$4 - x = 0$$5 + y = 0$Из первого уравнения получаем $x = 4$.Из второго уравнения получаем $y = -5$.Ответ: $x = 4, y = -5$.

3) Рассмотрим уравнение $x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = \vec{0}$.Сгруппируем слагаемые при векторе $\vec{b}$:$x\vec{a} + (3 - y)\vec{b} = \vec{0}$Данное уравнение представляет собой линейную комбинацию неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равную нулевому вектору. Это возможно только если коэффициенты при векторах равны нулю. Таким образом:$x = 0$$3 - y = 0$Из второго уравнения находим $y = 3$.Ответ: $x = 0, y = 3$.