Номер 1.116, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.116. В треугольнике ABC отрезок $AA_1$ – медиана. Приняв $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ в качестве базисных векторов, разложите вектор $\vec{AA_1}$ по этим векторам.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ отрезок $AA_1$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. Это означает, что точка $A_1$ — середина отрезка $BC$. Нам нужно разложить вектор $\vec{AA_1}$ по базисным векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Для наглядности представим треугольник и рассматриваемые векторы на рисунке:

Для нахождения вектора $\vec{AA_1}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Вектор $\vec{AA_1}$ можно представить как сумму векторов, идущих по ломаной из точки $A$ в точку $A_1$. Например, по пути $A \rightarrow B \rightarrow A_1$:

$\vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{BA_1}$

Так как $A_1$ — середина отрезка $BC$, то вектор $\vec{BA_1}$ равен половине вектора $\vec{BC}$ (они сонаправлены, и длина $\vec{BA_1}$ равна половине длины $\vec{BC}$):

$\vec{BA_1} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Теперь выразим вектор $\vec{BC}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. По правилу вычитания векторов (или по правилу треугольника для векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$):

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

Подставим полученное выражение для $\vec{BC}$ в формулу для $\vec{BA_1}$:

$\vec{BA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$

Наконец, подставим найденное выражение для $\vec{BA_1}$ в исходную формулу для $\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} = \vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{AA_1} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{AA_1} = (1 - \frac{1}{2})\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

Таким образом, мы разложили вектор медианы $\vec{AA_1}$ по базисным векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Этот результат также известен как формула вектора медианы: вектор медианы, выходящей из вершины треугольника, равен полусумме векторов, выходящих из той же вершины и идущих по сторонам треугольника.

Ответ: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$