Номер 1.123, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.123. Разложите вектор:

1) $\vec{a}=(5; 3);$

2) $\vec{b}=(-2; 3);$

3) $\vec{c}=(0; 2);$

4) $\vec{d}=(0; 0)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

1) Разложение вектора $\vec{a}=(5; 3)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

Чтобы разложить вектор $\vec{a}$ по векторам $\vec{p}$ и $\vec{q}$, необходимо найти такие скалярные коэффициенты $x$ и $y$, что выполняется равенство:

$\vec{a} = x\vec{p} + y\vec{q}$

Подставим координаты векторов в это уравнение:

$(5; 3) = x(-1; 1) + y(1; 1)$

$(5; 3) = (-x; x) + (y; y)$

$(5; 3) = (-x + y; x + y)$

Это векторное равенство эквивалентно системе двух линейных уравнений для координат:

$\begin{cases} -x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(-x + y) + (x + y) = 5 + 3$

$2y = 8$

$y = 4$

Теперь подставим найденное значение $y=4$ во второе уравнение системы:

$x + 4 = 3$

$x = 3 - 4$

$x = -1$

Таким образом, коэффициенты разложения равны $x=-1$ и $y=4$.

Ответ: $\vec{a} = -1\vec{p} + 4\vec{q}$ или $\vec{a} = -\vec{p} + 4\vec{q}$.

2) Разложение вектора $\vec{b}=(-2; 3)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

Запишем искомое разложение в виде $\vec{b} = x\vec{p} + y\vec{q}$ и подставим координаты векторов:

$(-2; 3) = x(-1; 1) + y(1; 1)$

$(-2; 3) = (-x + y; x + y)$

Составим систему уравнений для координат:

$\begin{cases} -x + y = -2 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(-x + y) + (x + y) = -2 + 3$

$2y = 1$

$y = \frac{1}{2}$

Подставим $y = \frac{1}{2}$ во второе уравнение:

$x + \frac{1}{2} = 3$

$x = 3 - \frac{1}{2}$

$x = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Коэффициенты разложения равны $x=\frac{5}{2}$ и $y=\frac{1}{2}$.

Ответ: $\vec{b} = \frac{5}{2}\vec{p} + \frac{1}{2}\vec{q}$.

3) Разложение вектора $\vec{c}=(0; 2)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

Запишем искомое разложение в виде $\vec{c} = x\vec{p} + y\vec{q}$ и подставим координаты векторов:

$(0; 2) = x(-1; 1) + y(1; 1)$

$(0; 2) = (-x + y; x + y)$

Составим систему уравнений для координат:

$\begin{cases} -x + y = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y=x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + x = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Так как $y=x$, то $y=1$.

Коэффициенты разложения равны $x=1$ и $y=1$.

Ответ: $\vec{c} = 1\vec{p} + 1\vec{q}$ или $\vec{c} = \vec{p} + \vec{q}$.

4) Разложение вектора $\vec{d}=(0; 0)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

Вектор $\vec{d}=(0; 0)$ является нулевым вектором. Разложение нулевого вектора по базису всегда имеет нулевые коэффициенты. Проверим это, решив соответствующую систему.

Запишем искомое разложение в виде $\vec{d} = x\vec{p} + y\vec{q}$:

$(0; 0) = x(-1; 1) + y(1; 1)$

$(0; 0) = (-x + y; x + y)$

Составим систему уравнений для координат:

$\begin{cases} -x + y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $y=x$.

Подставим во второе уравнение:

$x + x = 0$

$2x = 0$

$x = 0$

Следовательно, $y=x=0$.

Коэффициенты разложения равны $x=0$ и $y=0$.

Ответ: $\vec{d} = 0\vec{p} + 0\vec{q}$.