Номер 1.126, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.126. Докажите свойства средней линии треугольника, используя координатный способ.

Свойства средней линии треугольника заключаются в том, что она параллельна одной из его сторон (основанию) и равна половине этой стороны. Для доказательства этих свойств используем координатный метод.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Введем декартову систему координат и зададим координаты его вершин: $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$.

Пусть $MN$ – средняя линия треугольника, соединяющая середины сторон $AC$ и $BC$. Точка $M$ является серединой стороны $AC$, а точка $N$ – серединой стороны $BC$.

Используя формулу для нахождения координат середины отрезка $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$, найдем координаты точек $M$ и $N$.

Координаты точки $M$ (середины $AC$): $M(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2})$

Координаты точки $N$ (середины $BC$): $N(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2})$

Теперь докажем оба свойства средней линии.

Доказательство параллельности средней линии третьей стороне

Чтобы доказать, что средняя линия $MN$ параллельна стороне $AB$, мы должны показать, что их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

1. Найдем угловой коэффициент $k_{MN}$ для средней линии $MN$:

$k_{MN} = \frac{\frac{y_B+y_C}{2} - \frac{y_A+y_C}{2}}{\frac{x_B+x_C}{2} - \frac{x_A+x_C}{2}} = \frac{\frac{y_B - y_A}{2}}{\frac{x_B - x_A}{2}} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

Это выражение определено, если $x_A \neq x_B$.

2. Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ для стороны $AB$:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$

3. Сравнивая два угловых коэффициента, видим, что $k_{MN} = k_{AB}$. Это означает, что прямые $MN$ и $AB$ параллельны.

4. Если $x_A = x_B$, то сторона $AB$ вертикальна и ее угловой коэффициент не определен. В этом случае $x$-координата точки $M$ равна $\frac{x_A+x_C}{2}$, а $x$-координата точки $N$ равна $\frac{x_B+x_C}{2} = \frac{x_A+x_C}{2}$. Так как $x$-координаты точек $M$ и $N$ совпадают, средняя линия $MN$ также является вертикальной. Две вертикальные прямые параллельны друг другу. Таким образом, $MN \parallel AB$ во всех случаях.

Ответ: Доказано, что средняя линия треугольника параллельна третьей стороне.

Доказательство того, что длина средней линии равна половине длины третьей стороны

Чтобы доказать, что $|MN| = \frac{1}{2}|AB|$, используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

1. Найдем длину средней линии $MN$:

$|MN| = \sqrt{(\frac{x_B+x_C}{2} - \frac{x_A+x_C}{2})^2 + (\frac{y_B+y_C}{2} - \frac{y_A+y_C}{2})^2} = \sqrt{(\frac{x_B-x_A}{2})^2 + (\frac{y_B-y_A}{2})^2}$

$|MN| = \sqrt{\frac{(x_B-x_A)^2}{4} + \frac{(y_B-y_A)^2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}((x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2)} = \frac{1}{2}\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$

2. Найдем длину стороны $AB$:

$|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$

3. Сравнивая полученные выражения для длин, мы видим, что:

$|MN| = \frac{1}{2}|AB|$

Это доказывает, что длина средней линии ровно в два раза меньше длины третьей стороны.

Ответ: Доказано, что длина средней линии треугольника равна половине длины третьей стороны.