Номер 1.121, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.121. Можно ли определить вид треугольника $ABC$ по координатам его вершин: $A(-1; 1)$, $B(2; 3)$, $C(1; -2)$?

Да, можно определить вид треугольника по координатам его вершин. Для этого необходимо вычислить длины его сторон и проверить соотношения между ними.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Найдем длины сторон треугольника ABC с вершинами A(-1; 1), B(2; 3) и C(1; -2).

1. Длина стороны AB:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

2. Длина стороны BC:
$BC = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

3. Длина стороны AC:
$AC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Сравнив длины сторон, мы видим, что $AB = AC = \sqrt{13}$, а $BC = \sqrt{26}$. Поскольку две стороны треугольника равны, он является равнобедренным.

Далее определим вид треугольника по углам. Для этого проверим, выполняется ли для его сторон теорема, обратная теореме Пифагора. Найдем квадраты длин сторон:

$AB^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

$AC^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

$BC^2 = (\sqrt{26})^2 = 26$

Проверим равенство $BC^2 = AB^2 + AC^2$:

$26 = 13 + 13$

$26 = 26$

Равенство выполняется. Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным. Прямой угол $\angle A$ лежит напротив самой длинной стороны (гипотенузы) BC.

Таким образом, треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный.

Ответ: Да, можно. Треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным.