Страница 51 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.114. Даны последовательные вершины параллелограмма: $A(-1; 3)$, $B(2; -5)$, $C(0; 4)$. Найдите координаты вершины $D$.

Пусть координаты искомой вершины $D$ будут $(x_D, y_D)$. Поскольку в условии даны последовательные вершины параллелограмма $A, B, C$, то четвертая вершина $D$ образует параллелограмм $ABCD$.

Одним из основных свойств параллелограмма является равенство векторов, соответствующих его противоположным сторонам. Для параллелограмма $ABCD$ это означает, что вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$ (а также $\vec{AB} = \vec{DC}$). Воспользуемся равенством $\vec{AD} = \vec{BC}$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(2; -5)$ и $C(0; 4)$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (0 - 2; 4 - (-5)) = (-2; 9)$.

Теперь выразим координаты вектора $\vec{AD}$ через неизвестные координаты точки $D(x_D, y_D)$, зная координаты точки $A(-1; 3)$:
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x_D - (-1); y_D - 3) = (x_D + 1; y_D - 3)$.

Приравнивая координаты равных векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$, получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} x_D + 1 = -2 \\ y_D - 3 = 9 \end{cases} $

Решаем эту систему:
Из первого уравнения: $x_D = -2 - 1 = -3$.
Из второго уравнения: $y_D = 9 + 3 = 12$.

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(-3; 12)$.

Проверка: Можно также использовать свойство диагоналей параллелограмма, которые пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Середина диагонали $AC$ должна совпадать с серединой диагонали $BD$.
Середина $AC$: $(\frac{-1+0}{2}; \frac{3+4}{2}) = (-0.5; 3.5)$.
Середина $BD$: $(\frac{2+x_D}{2}; \frac{-5+y_D}{2})$.
$\frac{2+x_D}{2} = -0.5 \implies 2+x_D = -1 \implies x_D = -3$.
$\frac{-5+y_D}{2} = 3.5 \implies -5+y_D = 7 \implies y_D = 12$.
Результаты совпадают.

Ответ: $D(-3; 12)$.

1.115. При каких значениях $m$ треугольник, вершины которого расположены в точках $A(1; 3)$, $B(2; -1)$, $C(4; m)$, является равнобедренным?

Для того чтобы треугольник с вершинами в точках $A(1; 3)$, $B(2; -1)$, $C(4; m)$ был равнобедренным, необходимо, чтобы длины как минимум двух его сторон были равны. Найдем квадраты длин сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат длины стороны $AB$:

$AB^2 = (2 - 1)^2 + (-1 - 3)^2 = 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

Квадрат длины стороны $BC$:

$BC^2 = (4 - 2)^2 + (m - (-1))^2 = 2^2 + (m + 1)^2 = 4 + m^2 + 2m + 1 = m^2 + 2m + 5$.

Квадрат длины стороны $AC$:

$AC^2 = (4 - 1)^2 + (m - 3)^2 = 3^2 + (m - 3)^2 = 9 + m^2 - 6m + 9 = m^2 - 6m + 18$.

Заметим, что точки $A$, $B$ и $C$ не должны лежать на одной прямой. Это происходит, если угловые коэффициенты отрезков $AB$ и $AC$ равны. Угловой коэффициент $k_{AB} = \frac{-1 - 3}{2 - 1} = -4$. Угловой коэффициент $k_{AC} = \frac{m - 3}{4 - 1} = \frac{m - 3}{3}$. Из равенства $k_{AB} = k_{AC}$ следует, что $-4 = \frac{m-3}{3}$, откуда $m=-9$. При $m = -9$ точки коллинеарны и не образуют треугольник, поэтому это значение нужно исключить из итогового ответа.

Рассмотрим три возможных случая для равнобедренного треугольника.

Случай $AB = AC$

Приравниваем квадраты длин сторон: $AB^2 = AC^2$.

$17 = m^2 - 6m + 18$

$m^2 - 6m + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 32$. Корни уравнения: $m = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.

Случай $AB = BC$

Приравниваем квадраты длин сторон: $AB^2 = BC^2$.

$17 = m^2 + 2m + 5$

$m^2 + 2m - 12 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 52$. Корни уравнения: $m = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -1 \pm \sqrt{13}$.

Случай $AC = BC$

Приравниваем квадраты длин сторон: $AC^2 = BC^2$.

$m^2 - 6m + 18 = m^2 + 2m + 5$

$-6m + 18 = 2m + 5$

$13 = 8m \implies m = \frac{13}{8}$.

Все найденные значения $m$ ($3 \pm 2\sqrt{2}$, $-1 \pm \sqrt{13}$ и $\frac{13}{8}$) не равны $-9$, следовательно, являются решениями задачи.

Ответ: $3 - 2\sqrt{2}$, $3 + 2\sqrt{2}$, $-1 - \sqrt{13}$, $-1 + \sqrt{13}$, $\frac{13}{8}$.

1.116. В треугольнике ABC отрезок $AA_1$ – медиана. Приняв $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ в качестве базисных векторов, разложите вектор $\vec{AA_1}$ по этим векторам.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ отрезок $AA_1$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. Это означает, что точка $A_1$ — середина отрезка $BC$. Нам нужно разложить вектор $\vec{AA_1}$ по базисным векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Для наглядности представим треугольник и рассматриваемые векторы на рисунке:

Для нахождения вектора $\vec{AA_1}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Вектор $\vec{AA_1}$ можно представить как сумму векторов, идущих по ломаной из точки $A$ в точку $A_1$. Например, по пути $A \rightarrow B \rightarrow A_1$:

$\vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{BA_1}$

Так как $A_1$ — середина отрезка $BC$, то вектор $\vec{BA_1}$ равен половине вектора $\vec{BC}$ (они сонаправлены, и длина $\vec{BA_1}$ равна половине длины $\vec{BC}$):

$\vec{BA_1} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Теперь выразим вектор $\vec{BC}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. По правилу вычитания векторов (или по правилу треугольника для векторов $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BC}$):

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

Подставим полученное выражение для $\vec{BC}$ в формулу для $\vec{BA_1}$:

$\vec{BA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$

Наконец, подставим найденное выражение для $\vec{BA_1}$ в исходную формулу для $\vec{AA_1}$:

$\vec{AA_1} = \vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{AA_1} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{AA_1} = (1 - \frac{1}{2})\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

$\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

Таким образом, мы разложили вектор медианы $\vec{AA_1}$ по базисным векторам $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Этот результат также известен как формула вектора медианы: вектор медианы, выходящей из вершины треугольника, равен полусумме векторов, выходящих из той же вершины и идущих по сторонам треугольника.

Ответ: $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$

1.117. Даны векторы $\vec{p}=(3; -2)$ и $\vec{q}=(-1; 0)$. Найдите координаты и модуль вектора:

1) $5\vec{p}-2\vec{q}$

2) $4\vec{p}+\vec{q}$

Даны векторы $\vec{p}=(3; -2)$ и $\vec{q}=(-1; 0)$.

1) Найдем координаты и модуль вектора $5\vec{p} - 2\vec{q}$.

Сначала вычислим координаты векторов $5\vec{p}$ и $2\vec{q}$. Умножение вектора на скаляр производится покоординатно.

$5\vec{p} = 5 \cdot (3; -2) = (5 \cdot 3; 5 \cdot (-2)) = (15; -10)$

$2\vec{q} = 2 \cdot (-1; 0) = (2 \cdot (-1); 2 \cdot 0) = (-2; 0)$

Теперь найдем разность векторов $5\vec{p}$ и $2\vec{q}$, вычитая соответствующие координаты.

$5\vec{p} - 2\vec{q} = (15; -10) - (-2; 0) = (15 - (-2); -10 - 0) = (17; -10)$

Координаты искомого вектора равны $(17; -10)$.

Далее найдем модуль (длину) полученного вектора. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$|5\vec{p} - 2\vec{q}| = \sqrt{17^2 + (-10)^2} = \sqrt{289 + 100} = \sqrt{389}$

Ответ: координаты $(17; -10)$, модуль $\sqrt{389}$.

2) Найдем координаты и модуль вектора $4\vec{p} + \vec{q}$.

Сначала вычислим координаты вектора $4\vec{p}$.

$4\vec{p} = 4 \cdot (3; -2) = (4 \cdot 3; 4 \cdot (-2)) = (12; -8)$

Теперь найдем сумму векторов $4\vec{p}$ и $\vec{q}$, складывая соответствующие координаты.

$4\vec{p} + \vec{q} = (12; -8) + (-1; 0) = (12 + (-1); -8 + 0) = (11; -8)$

Координаты искомого вектора равны $(11; -8)$.

Далее найдем модуль полученного вектора.

$|4\vec{p} + \vec{q}| = \sqrt{11^2 + (-8)^2} = \sqrt{121 + 64} = \sqrt{185}$

Ответ: координаты $(11; -8)$, модуль $\sqrt{185}$.

1.118. Для векторов $\vec{a}=(x; y)$, $\vec{b}=(u; v)$ выполняется соотношение $x : y = u : v$. Докажите, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны.

Два вектора $\vec{a}=(x; y)$ и $\vec{b}=(u; v)$ являются коллинеарными, если существует такое число $k$, что $\vec{a} = k\vec{b}$. В координатной форме это означает, что $x = ku$ и $y = kv$. Это условие пропорциональности координат.

Условие коллинеарности для векторов $\vec{a}=(x; y)$ и $\vec{b}=(u; v)$ также можно записать в виде равенства $xv - yu = 0$. Это равенство справедливо для всех случаев, включая те, где одна или несколько координат равны нулю.

Рассмотрим данное в условии соотношение $x : y = u : v$. По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов. Следовательно, данное соотношение эквивалентно равенству: $xv = yu$

Перенеся все члены в одну часть, мы получим: $xv - yu = 0$

Это выражение в точности совпадает с координатным условием коллинеарности векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Следовательно, векторы коллинеарны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1.119. Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то векторы:

1) $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$;

2) $2 \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ также не коллинеарны.

Докажите это.

1)

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что векторы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ коллинеарны.

Если векторы коллинеарны, то по определению существует такое действительное число $k$, что выполняется равенство $\vec{c} = k\vec{d}$.

Подставим в это равенство выражения для векторов $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, сгруппировав слагаемые с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} - k\vec{b}$
$\vec{a} - k\vec{a} + \vec{b} + k\vec{b} = \vec{0}$
$(1 - k)\vec{a} + (1 + k)\vec{b} = \vec{0}$

По условию задачи, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Это означает, что они являются линейно независимыми. Линейная комбинация двух линейно независимых векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда все коэффициенты этой комбинации равны нулю.

Следовательно, должны одновременно выполняться два условия:
$1 - k = 0$
$1 + k = 0$

Решая эту систему уравнений, из первого уравнения получаем $k = 1$, а из второго $k = -1$.

Мы получили противоречие: $1 = -1$, что невозможно. Это означает, что наше исходное предположение о коллинеарности векторов $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ было неверным.

Ответ: Что и требовалось доказать: векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ не коллинеарны.

2)

Аналогично первому пункту, воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что векторы $\vec{p} = 2\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b}$ коллинеарны.

Тогда существует такое число $m$, что $\vec{p} = m\vec{q}$.

Подставим выражения для векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$:
$2\vec{a} + \vec{b} = m(\vec{a} + \vec{b})$

Преобразуем уравнение:
$2\vec{a} + \vec{b} = m\vec{a} + m\vec{b}$
$2\vec{a} - m\vec{a} + \vec{b} - m\vec{b} = \vec{0}$
$(2 - m)\vec{a} + (1 - m)\vec{b} = \vec{0}$

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по условию не коллинеарны (линейно независимы), равенство нулю их линейной комбинации возможно только при нулевых коэффициентах.

Таким образом, получаем систему уравнений:
$2 - m = 0$
$1 - m = 0$

Из первого уравнения следует, что $m = 2$, а из второго — что $m = 1$.

Мы снова пришли к противоречию: $2 = 1$, что является ложным утверждением. Следовательно, наше предположение о коллинеарности векторов $2\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ неверно.

Ответ: Что и требовалось доказать: векторы $2\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ не коллинеарны.

1.120. Найдите числа x и y при условии, что $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны и:

1) $3\vec{a}-x\vec{b} = y\vec{a}+\vec{b};$

2) $4\vec{a}+5\vec{b}-x\vec{a}+y\vec{b}=\vec{0};$

3) $x\vec{a}+3\vec{b}-y\vec{b}=\vec{0}.$

1) Для решения задачи воспользуемся свойством неколлинеарных векторов: если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, то равенство вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$ выполняется тогда и только тогда, когда коэффициенты $m$ и $n$ равны нулю.Исходное уравнение: $3\vec{a} - x\vec{b} = y\vec{a} + \vec{b}$.Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить уравнение вида $m\vec{a} + n\vec{b} = \vec{0}$:$3\vec{a} - x\vec{b} - y\vec{a} - \vec{b} = \vec{0}$Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:$(3 - y)\vec{a} + (-x - 1)\vec{b} = \vec{0}$Так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть равны нулю. Это дает нам систему из двух уравнений:$3 - y = 0$$-x - 1 = 0$Решая эту систему, находим:Из первого уравнения $y = 3$.Из второго уравнения $-x = 1$, следовательно, $x = -1$.Ответ: $x = -1, y = 3$.

2) Рассмотрим уравнение $4\vec{a} + 5\vec{b} - x\vec{a} + y\vec{b} = \vec{0}$.Сгруппируем слагаемые с одинаковыми векторами:$(4 - x)\vec{a} + (5 + y)\vec{b} = \vec{0}$Используя условие, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, мы можем утверждать, что коэффициенты при этих векторах должны быть равны нулю. Составляем систему уравнений:$4 - x = 0$$5 + y = 0$Из первого уравнения получаем $x = 4$.Из второго уравнения получаем $y = -5$.Ответ: $x = 4, y = -5$.

3) Рассмотрим уравнение $x\vec{a} + 3\vec{b} - y\vec{b} = \vec{0}$.Сгруппируем слагаемые при векторе $\vec{b}$:$x\vec{a} + (3 - y)\vec{b} = \vec{0}$Данное уравнение представляет собой линейную комбинацию неколлинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равную нулевому вектору. Это возможно только если коэффициенты при векторах равны нулю. Таким образом:$x = 0$$3 - y = 0$Из второго уравнения находим $y = 3$.Ответ: $x = 0, y = 3$.

1.121. Можно ли определить вид треугольника $ABC$ по координатам его вершин: $A(-1; 1)$, $B(2; 3)$, $C(1; -2)$?

Да, можно определить вид треугольника по координатам его вершин. Для этого необходимо вычислить длины его сторон и проверить соотношения между ними.

Воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Найдем длины сторон треугольника ABC с вершинами A(-1; 1), B(2; 3) и C(1; -2).

1. Длина стороны AB:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.

2. Длина стороны BC:
$BC = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.

3. Длина стороны AC:
$AC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.

Сравнив длины сторон, мы видим, что $AB = AC = \sqrt{13}$, а $BC = \sqrt{26}$. Поскольку две стороны треугольника равны, он является равнобедренным.

Далее определим вид треугольника по углам. Для этого проверим, выполняется ли для его сторон теорема, обратная теореме Пифагора. Найдем квадраты длин сторон:

$AB^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

$AC^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

$BC^2 = (\sqrt{26})^2 = 26$

Проверим равенство $BC^2 = AB^2 + AC^2$:

$26 = 13 + 13$

$26 = 26$

Равенство выполняется. Следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ABC является прямоугольным. Прямой угол $\angle A$ лежит напротив самой длинной стороны (гипотенузы) BC.

Таким образом, треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный.

Ответ: Да, можно. Треугольник ABC является равнобедренным прямоугольным.

1.122. На координатной плоскости $Oxy$ даны векторы $\vec{OA_1} = (1; 2)$ и $\vec{A_1A_2} = (-2; 3)$. Найдите координаты точки $A_2$.

Для того чтобы найти координаты точки $A_2$, мы можем использовать правило сложения векторов. Пусть $O$ — начало координат. Тогда вектор $\vec{OA_1}$ является радиус-вектором точки $A_1$, а вектор $\vec{OA_2}$ — радиус-вектором точки $A_2$. Координаты точки в декартовой системе совпадают с координатами ее радиус-вектора.

Мы можем выразить вектор $\vec{OA_2}$ как сумму векторов $\vec{OA_1}$ и $\vec{A_1A_2}$ по правилу треугольника, которое графически иллюстрирует, что перемещение из точки O в точку $A_2$ эквивалентно последовательному перемещению из O в $A_1$, а затем из $A_1$ в $A_2$.

Математически это записывается так:

$\vec{OA_2} = \vec{OA_1} + \vec{A_1A_2}$

Теперь подставим известные координаты векторов в это равенство. Сложение векторов производится покоординатно, то есть мы складываем соответствующие x-координаты и y-координаты векторов:

$\vec{OA_2} = (1; 2) + (-2; 3) = (1 + (-2); 2 + 3) = (1 - 2; 5) = (-1; 5)$

Таким образом, радиус-вектор точки $A_2$ имеет координаты $(-1; 5)$. Следовательно, координаты самой точки $A_2$ также равны $(-1; 5)$.

Ответ: $(-1; 5)$.

1.123. Разложите вектор:

1) $\vec{a}=(5; 3);$

2) $\vec{b}=(-2; 3);$

3) $\vec{c}=(0; 2);$

4) $\vec{d}=(0; 0)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

1) Разложение вектора $\vec{a}=(5; 3)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

Чтобы разложить вектор $\vec{a}$ по векторам $\vec{p}$ и $\vec{q}$, необходимо найти такие скалярные коэффициенты $x$ и $y$, что выполняется равенство:

$\vec{a} = x\vec{p} + y\vec{q}$

Подставим координаты векторов в это уравнение:

$(5; 3) = x(-1; 1) + y(1; 1)$

$(5; 3) = (-x; x) + (y; y)$

$(5; 3) = (-x + y; x + y)$

Это векторное равенство эквивалентно системе двух линейных уравнений для координат:

$\begin{cases} -x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(-x + y) + (x + y) = 5 + 3$

$2y = 8$

$y = 4$

Теперь подставим найденное значение $y=4$ во второе уравнение системы:

$x + 4 = 3$

$x = 3 - 4$

$x = -1$

Таким образом, коэффициенты разложения равны $x=-1$ и $y=4$.

Ответ: $\vec{a} = -1\vec{p} + 4\vec{q}$ или $\vec{a} = -\vec{p} + 4\vec{q}$.

2) Разложение вектора $\vec{b}=(-2; 3)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

Запишем искомое разложение в виде $\vec{b} = x\vec{p} + y\vec{q}$ и подставим координаты векторов:

$(-2; 3) = x(-1; 1) + y(1; 1)$

$(-2; 3) = (-x + y; x + y)$

Составим систему уравнений для координат:

$\begin{cases} -x + y = -2 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(-x + y) + (x + y) = -2 + 3$

$2y = 1$

$y = \frac{1}{2}$

Подставим $y = \frac{1}{2}$ во второе уравнение:

$x + \frac{1}{2} = 3$

$x = 3 - \frac{1}{2}$

$x = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

Коэффициенты разложения равны $x=\frac{5}{2}$ и $y=\frac{1}{2}$.

Ответ: $\vec{b} = \frac{5}{2}\vec{p} + \frac{1}{2}\vec{q}$.

3) Разложение вектора $\vec{c}=(0; 2)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

Запишем искомое разложение в виде $\vec{c} = x\vec{p} + y\vec{q}$ и подставим координаты векторов:

$(0; 2) = x(-1; 1) + y(1; 1)$

$(0; 2) = (-x + y; x + y)$

Составим систему уравнений для координат:

$\begin{cases} -x + y = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y=x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + x = 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Так как $y=x$, то $y=1$.

Коэффициенты разложения равны $x=1$ и $y=1$.

Ответ: $\vec{c} = 1\vec{p} + 1\vec{q}$ или $\vec{c} = \vec{p} + \vec{q}$.

4) Разложение вектора $\vec{d}=(0; 0)$ по векторам $\vec{p}=(-1; 1)$ и $\vec{q}=(1; 1)$.

Вектор $\vec{d}=(0; 0)$ является нулевым вектором. Разложение нулевого вектора по базису всегда имеет нулевые коэффициенты. Проверим это, решив соответствующую систему.

Запишем искомое разложение в виде $\vec{d} = x\vec{p} + y\vec{q}$:

$(0; 0) = x(-1; 1) + y(1; 1)$

$(0; 0) = (-x + y; x + y)$

Составим систему уравнений для координат:

$\begin{cases} -x + y = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $y=x$.

Подставим во второе уравнение:

$x + x = 0$

$2x = 0$

$x = 0$

Следовательно, $y=x=0$.

Коэффициенты разложения равны $x=0$ и $y=0$.

Ответ: $\vec{d} = 0\vec{p} + 0\vec{q}$.

1.124. Покажите, что не найдутся две точки с целочисленными координатами, которые равноудалены от точки $A(\sqrt{2}-1; \frac{1}{3}).$

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существуют две различные точки с целочисленными координатами, $B(x_1, y_1)$ и $C(x_2, y_2)$, которые равноудалены от точки $A(\sqrt{2}-1; \frac{1}{3})$. В данном предположении $x_1, y_1, x_2, y_2$ являются целыми числами, и как минимум одна из координат точки $B$ отличается от соответствующей координаты точки $C$.

Условие равноудаленности точек $B$ и $C$ от точки $A$ означает, что длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $AC$. Это эквивалентно равенству квадратов их длин: $AB^2 = AC^2$.

Выразим квадраты расстояний через координаты точек:

$AB^2 = (x_1 - (\sqrt{2}-1))^2 + (y_1 - \frac{1}{3})^2$

$AC^2 = (x_2 - (\sqrt{2}-1))^2 + (y_2 - \frac{1}{3})^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x_1 - (\sqrt{2}-1))^2 + (y_1 - \frac{1}{3})^2 = (x_2 - (\sqrt{2}-1))^2 + (y_2 - \frac{1}{3})^2$

Раскроем скобки в уравнении:

$x_1^2 - 2x_1(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}-1)^2 + y_1^2 - 2y_1\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = x_2^2 - 2x_2(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}-1)^2 + y_2^2 - 2y_2\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2$

Сократим одинаковые члены $((\sqrt{2}-1)^2$ и $(\frac{1}{3})^2)$ в обеих частях:

$x_1^2 - 2x_1(\sqrt{2}-1) + y_1^2 - \frac{2}{3}y_1 = x_2^2 - 2x_2(\sqrt{2}-1) + y_2^2 - \frac{2}{3}y_2$

Перегруппируем члены, чтобы выделить иррациональную часть с $\sqrt{2}$:

$(x_1^2 - x_2^2) + (y_1^2 - y_2^2) + 2(x_1-x_2) - \frac{2}{3}(y_1 - y_2) = 2(x_1-x_2)\sqrt{2}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$3(x_1^2 - x_2^2) + 3(y_1^2 - y_2^2) + 6(x_1-x_2) - 2(y_1 - y_2) = 6(x_1-x_2)\sqrt{2}$

Левая часть этого уравнения является целым числом, так как $x_1, y_1, x_2, y_2$ — целые числа. Обозначим это целое число через $L$. Правая часть уравнения имеет вид $R = 6k\sqrt{2}$, где $k = x_1 - x_2$ — также целое число. Число $\sqrt{2}$ иррационально. Равенство $L = R$ возможно только в том случае, если обе части равны нулю, поскольку рациональное число (в данном случае целое) может быть равно иррациональному числу вида $6k\sqrt{2}$ только если $k=0$, что, в свою очередь, делает $L=0$.

Таким образом, мы получаем систему из двух условий:

1. $6(x_1 - x_2)\sqrt{2} = 0 \implies x_1 - x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$.

2. $3(x_1^2 - x_2^2) + 3(y_1^2 - y_2^2) + 6(x_1-x_2) - 2(y_1 - y_2) = 0$.

Подставим $x_1 = x_2$ во второе уравнение:

$3(x_1^2 - x_1^2) + 3(y_1^2 - y_2^2) + 6(x_1-x_1) - 2(y_1 - y_2) = 0$

$3(y_1^2 - y_2^2) - 2(y_1 - y_2) = 0$

$3(y_1 - y_2)(y_1 + y_2) - 2(y_1 - y_2) = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(y_1 - y_2)$:

$(y_1 - y_2)[3(y_1 + y_2) - 2] = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

a) $y_1 - y_2 = 0$, что означает $y_1 = y_2$.

b) $3(y_1 + y_2) - 2 = 0$, что означает $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}$.

Рассмотрим оба случая. В случае (a), мы получаем, что $x_1 = x_2$ и $y_1 = y_2$. Это означает, что координаты точек $B$ и $C$ полностью совпадают, то есть это одна и та же точка. Это противоречит нашему исходному предположению, что точки $B$ и $C$ различны.

В случае (b), мы имеем $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}$. Однако, $y_1$ и $y_2$ являются целыми числами по условию, и их сумма также должна быть целым числом. Число $\frac{2}{3}$ не является целым, поэтому этот случай невозможен.

Оба возможных исхода приводят к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Это доказывает, что не существует двух различных точек с целочисленными координатами, которые были бы равноудалены от точки $A(\sqrt{2}-1; \frac{1}{3})$.

Ответ: Утверждение доказано.