Страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.151. Даны точки $A(0; 0)$, $B(4; 4)$, $C(0; 8)$, $D(-4; 4)$. Покажите, что четырехугольник $ABCD$ — квадрат.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны между собой, а также что его диагонали равны между собой.

Для вычисления длин сторон и диагоналей воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Сначала найдем длины всех сторон четырехугольника:
Длина стороны $AB$ между точками $A(0; 0)$ и $B(4; 4)$:$|AB| = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.
Длина стороны $BC$ между точками $B(4; 4)$ и $C(0; 8)$:$|BC| = \sqrt{(0 - 4)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.
Длина стороны $CD$ между точками $C(0; 8)$ и $D(-4; 4)$:$|CD| = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.
Длина стороны $DA$ между точками $D(-4; 4)$ и $A(0; 0)$:$|DA| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Поскольку $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{32}$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что четырехугольник $ABCD$ является ромбом.

Теперь найдем длины его диагоналей:
Длина диагонали $AC$ между точками $A(0; 0)$ и $C(0; 8)$:$|AC| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{0 + 64} = \sqrt{64} = 8$.
Длина диагонали $BD$ между точками $B(4; 4)$ и $D(-4; 4)$:$|BD| = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.

Диагонали равны между собой: $|AC| = |BD| = 8$.

Так как четырехугольник $ABCD$ является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Для наглядности можно изобразить данный четырехугольник на координатной плоскости.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом, так как все его стороны равны ($\sqrt{32}$), а диагонали равны (8).

1.152. Даны векторы $\vec{a} = (1; 0)$ и $\vec{b} = (1; 1)$. Каким должно быть число $\alpha$, чтобы векторы $\vec{a} + \alpha\vec{b}$ и $\vec{a}$ были перпендикулярными?

Для того чтобы два вектора были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. В данном случае векторы, о которых идет речь, это $\vec{a} + \alpha\vec{b}$ и $\vec{a}$. Таким образом, должно выполняться условие:

$(\vec{a} + \alpha\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

Сначала найдем координаты вектора $\vec{a} + \alpha\vec{b}$. Нам даны координаты векторов $\vec{a} = (1; 0)$ и $\vec{b} = (1; 1)$.

Умножим вектор $\vec{b}$ на число $\alpha$:

$\alpha\vec{b} = \alpha(1; 1) = (\alpha \cdot 1; \alpha \cdot 1) = (\alpha; \alpha)$

Теперь сложим векторы $\vec{a}$ и $\alpha\vec{b}$:

$\vec{a} + \alpha\vec{b} = (1; 0) + (\alpha; \alpha) = (1 + \alpha; 0 + \alpha) = (1 + \alpha; \alpha)$

Теперь, когда у нас есть координаты обоих векторов, мы можем найти их скалярное произведение и приравнять его к нулю. Координаты векторов:

$\vec{a} + \alpha\vec{b} = (1 + \alpha; \alpha)$

$\vec{a} = (1; 0)$

Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

$(1 + \alpha) \cdot 1 + \alpha \cdot 0 = 0$

Решим полученное уравнение:

$1 + \alpha + 0 = 0$

$1 + \alpha = 0$

$\alpha = -1$

Таким образом, при $\alpha = -1$ векторы $\vec{a} + \alpha\vec{b}$ и $\vec{a}$ будут перпендикулярны.

Ответ: $\alpha = -1$.

1.153. Дано $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ и $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=60^{\circ}$. Определите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{a}+\vec{b}$.

Для определения угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ можно использовать два подхода: алгебраический (через скалярное произведение) и геометрический.

Алгебраический способ

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

В нашем случае $\vec{u} = \vec{a}$ и $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$. Обозначим искомый угол как $\theta$. Тогда формула примет вид:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a}| |\vec{a} + \vec{b}|}$

Вычислим числитель и знаменатель дроби.

1. Вычисление скалярного произведения в числителе:

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:

$\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b}$

Мы знаем, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})$. Подставим данные из условия: $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=60^\circ$.

$\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(60^\circ) = 1^2 + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Вычисление модулей векторов в знаменателе:

Модуль вектора $\vec{a}$ дан в условии: $|\vec{a}| = 1$.

Найдем модуль вектора $\vec{a} + \vec{b}$. Для этого сначала вычислим его квадрат:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(60^\circ) + |\vec{b}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

Следовательно, модуль вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равен $\sqrt{3}$.

Теперь знаменатель равен: $|\vec{a}| |\vec{a} + \vec{b}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

3. Вычисление косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\theta$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.

Геометрический способ

Рассмотрим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от одной точки O. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм OACB.

Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ соответствует диагонали OC этого параллелограмма.По условию, длины векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. Это означает, что смежные стороны параллелограмма OACB равны, следовательно, этот параллелограмм является ромбом.Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это угол AOB, который равен $60^\circ$.В ромбе диагональ является биссектрисой угла, из которого она выходит. Диагональ OC (вектор $\vec{a} + \vec{b}$) делит угол AOB пополам.Следовательно, искомый угол $\theta$ (угол AOC) между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{a} + \vec{b}$ равен половине угла AOB:

$\theta = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $30^\circ$.

1.154. Если в треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $90^\circ$, то необходимо и достаточно выполнение равенства $AC^2=AB^2+BC^2$. Докажите это, применяя скалярное произведение векторов.

Для доказательства данного утверждения, которое является теоремой Пифагора и обратной к ней теоремой, воспользуемся методами векторной алгебры.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Введем векторы, соответствующие его сторонам, с началом в вершине $B$: $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{c} = \vec{BC}$. Тогда по правилу вычитания векторов, вектор, соответствующий стороне $AC$, будет $\vec{b} = \vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA} = \vec{c} - \vec{a}$.

Длины сторон треугольника равны модулям соответствующих векторов: $AB = |\vec{a}|$, $BC = |\vec{c}|$, $AC = |\vec{b}|$.

Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату. Найдем квадрат длины стороны $AC$:

$AC^2 = |\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a})$

Используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность), раскроем скобки:

$AC^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{a}$

$AC^2 = |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{a}|^2$

Подставляя обратно длины сторон, получаем общее соотношение:

$AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

Это равенство (векторная форма теоремы косинусов) является основой для дальнейшего доказательства. Утверждение "необходимо и достаточно" требует доказательства в обе стороны.

1. Необходимость

Докажем, что если угол $B$ в треугольнике $ABC$ равен $90^\circ$, то выполняется равенство $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Угол $B$ — это угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Если $\angle B = 90^\circ$, то эти векторы перпендикулярны (ортогональны).

По определению, скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$.

Подставим это значение в выведенное ранее соотношение:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot 0$

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $\angle B = 90^\circ$, то $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

2. Достаточность

Докажем, что если выполняется равенство $AC^2 = AB^2 + BC^2$, то угол $B$ равен $90^\circ$.

Снова воспользуемся основным векторным соотношением:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

По условию, нам дано, что $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Подставим это в левую часть равенства:

$AB^2 + BC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

Вычтем $AB^2 + BC^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = -2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

Отсюда следует, что скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$.

Так как $A, B, C$ — вершины треугольника, то стороны $AB$ и $BC$ имеют ненулевую длину, а значит, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ не являются нулевыми. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.

Следовательно, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны, а угол между ними, который и является углом $B$ треугольника, равен $90^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $AC^2 = AB^2 + BC^2$, то $\angle B = 90^\circ$.

1.155. Найдите длины биссектрис треугольника, стороны которого равны $a$, $b$ и $c$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Найдем длину биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.

Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$, где $D$ — точка на стороне $BC$. Длина отрезка $AD$ равна $l_a$.

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ADC$.

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ADC}$

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2} bc \sin A$

Поскольку $AD$ — биссектриса, то $\angle BAD = \angle CAD = \frac{A}{2}$. Тогда площади треугольников $ABD$ и $ADC$ равны:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin(\frac{A}{2}) = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{A}{2})$

$S_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \sin(\frac{A}{2}) = \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{A}{2})$

Подставим эти выражения в формулу для площади всего треугольника:

$\frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{A}{2}) + \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{A}{2})$

Умножим обе части на 2 и вынесем общий множитель $l_a \sin(\frac{A}{2})$ за скобки:

$bc \sin A = l_a (b+c) \sin(\frac{A}{2})$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$:

$bc \cdot 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}) = l_a (b+c) \sin(\frac{A}{2})$

Так как для любого угла $A$ треугольника $0 < A < 180^\circ$, то $0 < \frac{A}{2} < 90^\circ$, и $\sin(\frac{A}{2}) \neq 0$. Следовательно, можно сократить на $\sin(\frac{A}{2})$:

$2bc \cos(\frac{A}{2}) = l_a (b+c)$

Отсюда выразим длину биссектрисы $l_a$:

$l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(\frac{A}{2})$

Теперь необходимо выразить $\cos(\frac{A}{2})$ через стороны треугольника $a, b, c$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Используем формулу половинного угла для косинуса: $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{1 + \cos A}{2}$.

$\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{2} = \frac{\frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{2} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{4bc}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)$:

$\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{4bc}$

Введем полупериметр треугольника $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $a+b+c = 2p$ и $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$. Подставим эти выражения в формулу для косинуса:

$\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{2(p-a) \cdot 2p}{4bc} = \frac{p(p-a)}{bc}$

Поскольку угол $\frac{A}{2}$ острый, его косинус положителен, поэтому:

$\cos(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$

Подставим найденное выражение для $\cos(\frac{A}{2})$ в формулу для $l_a$:

$l_a = \frac{2bc}{b+c} \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} = \frac{2bc}{b+c} \frac{\sqrt{p(p-a)}}{\sqrt{bc}} = \frac{2\sqrt{bc}}{b+c}\sqrt{p(p-a)}$

Таким образом, формула для длины биссектрисы угла $A$:

$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$

Аналогично, путем циклической перестановки переменных $a, b, c$, получаем формулы для длин двух других биссектрис $l_b$ и $l_c$.

Длина биссектрисы $l_b$, проведенной из вершины $B$ к стороне $b$:

$l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$

Длина биссектрисы $l_c$, проведенной из вершины $C$ к стороне $c$:

$l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$

Во всех формулах $p$ — полупериметр треугольника, вычисляемый как $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Ответ: Длины биссектрис $l_a, l_b, l_c$ треугольника со сторонами $a, b, c$ выражаются формулами:
$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$
$l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$
$l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$
где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

1.156. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов непараллельных сторон и удвоенного произведения ее оснований.

Пусть дана произвольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Введем следующие обозначения для длин ее элементов:

• $a = AD$ — большее основание
• $b = BC$ — меньшее основание
• $c = AB$ — боковая сторона
• $d = CD$ — боковая сторона
• $d_1 = AC$ — диагональ
• $d_2 = BD$ — диагональ

Требуется доказать, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенному произведению оснований, то есть: $d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab$.

Для доказательства проведем из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH_1$ и $CH_2$ на нижнее основание $AD$. Обозначим высоту трапеции как $h$, тогда $BH_1 = CH_2 = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH_2$. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AH_2^2 + CH_2^2$

Выразим $AH_2$ через основание $a$: $AH_2 = AD - H_2D = a - H_2D$. Тогда:

$d_1^2 = (a - H_2D)^2 + h^2 = a^2 - 2a \cdot H_2D + H_2D^2 + h^2$

Из прямоугольного треугольника $\triangle CDH_2$ по теореме Пифагора имеем $CD^2 = CH_2^2 + H_2D^2$, то есть $d^2 = h^2 + H_2D^2$. Подставим это в выражение для $d_1^2$:

$d_1^2 = a^2 - 2a \cdot H_2D + d^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDH_1$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH_1^2 + H_1D^2$

Выразим $H_1D$ через основание $a$: $H_1D = AD - AH_1 = a - AH_1$. Тогда:

$d_2^2 = h^2 + (a - AH_1)^2 = h^2 + a^2 - 2a \cdot AH_1 + AH_1^2$

Из прямоугольного треугольника $\triangle ABH_1$ по теореме Пифагора имеем $AB^2 = BH_1^2 + AH_1^2$, то есть $c^2 = h^2 + AH_1^2$. Подставим это в выражение для $d_2^2$:

$d_2^2 = c^2 + a^2 - 2a \cdot AH_1$

Сложим полученные выражения для квадратов диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + d^2 - 2a \cdot H_2D) + (c^2 + a^2 - 2a \cdot AH_1)$

$d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2a^2 - 2a(AH_1 + H_2D)$

Осталось выразить сумму проекций $AH_1 + H_2D$. Длина основания $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH_1 + H_1H_2 + H_2D$. Четырехугольник $BCH_2H_1$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel H_1H_2$ и $BH_1 \parallel CH_2$ (как перпендикуляры к одной прямой). Следовательно, $H_1H_2 = BC = b$.

Таким образом, $a = AH_1 + b + H_2D$, откуда $AH_1 + H_2D = a - b$.

Подставим это выражение в формулу для суммы квадратов диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2a^2 - 2a(a - b)$

$d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2a^2 - 2a^2 + 2ab$

$d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab$

Утверждение доказано. Сумма квадратов диагоналей трапеции действительно равна сумме квадратов ее непараллельных сторон и удвоенному произведению ее оснований.

Ответ: Доказано, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов непараллельных сторон и удвоенного произведения ее оснований.

1.157. Докажите, что если в треугольнике две медианы равны между собой, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены две медианы $AE$ и $BD$, причем по условию их длины равны: $AE = BD$. Точка $E$ является серединой стороны $BC$, а точка $D$ — серединой стороны $AC$. Докажем, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно, что стороны $AC$ и $BC$ равны.

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения медиан $AE$ и $BD$ как $O$. По свойству точки пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Таким образом, для медианы $AE$ имеем $AO = \frac{2}{3}AE$ и $OE = \frac{1}{3}AE$. Для медианы $BD$ имеем $BO = \frac{2}{3}BD$ и $OD = \frac{1}{3}BD$.

Поскольку по условию $AE = BD$, мы можем заключить, что соответствующие части этих медиан также равны между собой:$AO = \frac{2}{3}AE = \frac{2}{3}BD = BO$$OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}BD = OD$

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle AOD$ и $\triangle BOE$. Сравним их элементы. Мы установили, что сторона $AO$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $BO$ треугольника $\triangle BOE$. Также мы установили, что сторона $OD$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $OE$ треугольника $\triangle BOE$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOE$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными пересечением отрезков $AE$ и $BD$.

Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, а именно $AD = BE$.

По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Это значит, что длина стороны $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AD$ ($AC = 2 \cdot AD$), а длина стороны $BC$ равна удвоенной длине отрезка $BE$ ($BC = 2 \cdot BE$).

Так как мы доказали, что $AD = BE$, то отсюда следует, что $2 \cdot AD = 2 \cdot BE$, и, соответственно, $AC = BC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, в котором две медианы равны, является равнобедренным (в частности, равны стороны, к которым проведены эти медианы).

1.158. Найдите координаты вектора $\vec{a}$, если $\vec{i} = (1; 0)$, $\left|\vec{a}\right|=3$, $\widehat{(\vec{i}, \vec{a})}=30^{\circ}$.

Пусть искомый вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x; y)$.
По условию задачи нам даны:
1. Координаты вектора $\vec{i} = (1; 0)$. Этот вектор является единичным вектором оси абсцисс (оси Ox).
2. Модуль (длина) вектора $\vec{a}$ равен $|\vec{a}|=3$.
3. Угол между векторами $\vec{i}$ и $\vec{a}$ равен $(\widehat{\vec{i}, \vec{a}})=30^\circ$.

Для нахождения координат $(x; y)$ вектора $\vec{a}$ можно использовать его представление через модуль и угол с положительным направлением оси Ox. Координаты вектора в таком случае вычисляются по формулам:
$x = |\vec{a}| \cos(\theta)$
$y = |\vec{a}| \sin(\theta)$
где $\theta$ — угол между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси Ox (то есть вектором $\vec{i}$).

Условие, что угол между векторами $\vec{i}$ и $\vec{a}$ равен $30^\circ$, означает, что вектор $\vec{a}$ может быть расположен либо в первой координатной четверти (угол $\theta = 30^\circ$), либо в четвертой координатной четверти (угол $\theta = -30^\circ$). Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол $\theta = 30^\circ$
Подставляем значения $|\vec{a}|=3$ и $\theta=30^\circ$ в формулы:
$x = 3 \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$y = 3 \cdot \sin(30^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Таким образом, один из возможных векторов имеет координаты $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2})$.

Случай 2: Угол $\theta = -30^\circ$
Подставляем значения $|\vec{a}|=3$ и $\theta=-30^\circ$ в формулы:
$x = 3 \cdot \cos(-30^\circ) = 3 \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$y = 3 \cdot \sin(-30^\circ) = 3 \cdot (-\sin(30^\circ)) = 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$
Таким образом, второй возможный вектор имеет координаты $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; -\frac{3}{2})$.

Этот же результат можно получить, используя определение скалярного произведения векторов.
С одной стороны, скалярное произведение через координаты: $\vec{a} \cdot \vec{i} = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$.
С другой стороны, через модули и угол между ними: $\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| \cdot |\vec{i}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{i}})$.
Модуль вектора $\vec{i}$ равен $|\vec{i}| = \sqrt{1^2+0^2}=1$.
Тогда $\vec{a} \cdot \vec{i} = 3 \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Приравнивая два выражения для скалярного произведения, получаем $x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Теперь используем формулу модуля вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 = 3^2 = 9$.
Подставляем найденное значение $x$:
$(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + y^2 = 9$
$\frac{27}{4} + y^2 = 9$
$y^2 = 9 - \frac{27}{4} = \frac{36-27}{4} = \frac{9}{4}$
$y = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} = \pm\frac{3}{2}$.
Таким образом, мы получили те же два возможных набора координат для вектора $\vec{a}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{a}$ могут быть $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2})$ или $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; -\frac{3}{2})$.

1.159. В квадрате $ABCD$ даны вершины $A(-2; 1)$ и $B(3;$

3). Найдите координаты других вершин квадрата.

В задаче даны координаты двух соседних вершин квадрата $ABCD$: $A(-2; 1)$ и $B(3; 3)$. Поскольку вершины в названии квадрата перечисляются последовательно, отрезок $AB$ является его стороной. Задача имеет два возможных решения, так как квадрат можно построить по обе стороны от отрезка $AB$.

Сначала найдем вектор, соответствующий стороне $AB$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (3 - (-2); 3 - 1) = (5; 2)$

Стороны квадрата, смежные со стороной $AB$ (например, $BC$), должны быть перпендикулярны ей и иметь такую же длину. Вектор, перпендикулярный вектору $\vec{v}=(a; b)$, имеет координаты $(-b; a)$ или $(b; -a)$.

Для вектора $\vec{AB}=(5; 2)$ перпендикулярными ему и равными по длине будут два вектора:

$\vec{n_1} = (-2; 5)$

$\vec{n_2} = (2; -5)$

Каждый из этих векторов определяет одно из двух возможных положений квадрата. Рассмотрим оба случая.

Случай 1

Пусть вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{n_1} = (-2; 5)$.

Координаты вершины $C$ находим, прибавляя к координатам точки $B$ компоненты вектора $\vec{BC}$:

$C = (x_B + x_{\vec{BC}}; y_B + y_{\vec{BC}}) = (3 + (-2); 3 + 5) = (1; 8)$

В квадрате $ABCD$ векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны. Координаты вершины $D$ находим, прибавляя к координатам точки $A$ компоненты вектора $\vec{AD}$:

$D = (x_A + x_{\vec{AD}}; y_A + y_{\vec{AD}}) = (-2 + (-2); 1 + 5) = (-4; 6)$

Ответ: $C(1; 8)$, $D(-4; 6)$.

Случай 2

Пусть вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{n_2} = (2; -5)$.

Координаты вершины $C$:

$C = (x_B + x_{\vec{BC}}; y_B + y_{\vec{BC}}) = (3 + 2; 3 + (-5)) = (5; -2)$

Координаты вершины $D$ (используя равенство $\vec{AD} = \vec{BC}$):

$D = (x_A + x_{\vec{AD}}; y_A + y_{\vec{AD}}) = (-2 + 2; 1 + (-5)) = (0; -4)$

Ответ: $C(5; -2)$, $D(0; -4)$.

1.160. Даны точки $A(1; 1)$, $B(2; 3)$, $C(5; 0)$, $D(7; -5)$. Покажите, что четырехугольник $ABCD$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является трапецией, нужно показать, что у него есть одна пара параллельных сторон, а другая пара сторон не является параллельной. Параллельность двух прямых на плоскости можно определить по их угловым коэффициентам: если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, находится по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Нам даны координаты вершин четырехугольника: A(1; 1), B(2; 3), C(5; 0), D(7; -5). Вычислим угловые коэффициенты для каждой из его сторон.

1. Угловой коэффициент стороны AB, проходящей через точки A(1; 1) и B(2; 3): $k_{AB} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$

2. Угловой коэффициент стороны BC, проходящей через точки B(2; 3) и C(5; 0): $k_{BC} = \frac{0 - 3}{5 - 2} = \frac{-3}{3} = -1$

3. Угловой коэффициент стороны CD, проходящей через точки C(5; 0) и D(7; -5): $k_{CD} = \frac{-5 - 0}{7 - 5} = \frac{-5}{2} = -2.5$

4. Угловой коэффициент стороны DA, проходящей через точки D(7; -5) и A(1; 1): $k_{DA} = \frac{1 - (-5)}{1 - 7} = \frac{1 + 5}{-6} = \frac{6}{-6} = -1$

Теперь сравним угловые коэффициенты противоположных сторон четырехугольника: BC и DA, а также AB и CD.

- Для сторон BC и DA: $k_{BC} = -1$ и $k_{DA} = -1$. Поскольку их угловые коэффициенты равны, стороны BC и DA параллельны ($BC \parallel DA$).

- Для сторон AB и CD: $k_{AB} = 2$ и $k_{CD} = -2.5$. Поскольку их угловые коэффициенты не равны, стороны AB и CD не параллельны.

Так как у четырехугольника ABCD две стороны (BC и DA) параллельны, а две другие (AB и CD) не параллельны, по определению он является трапецией.

Ответ: Четырехугольник ABCD является трапецией, потому что стороны BC и DA параллельны (их угловые коэффициенты равны $-1$), а стороны AB и CD не параллельны (их угловые коэффициенты равны $2$ и $-2.5$ соответственно), что соответствует определению трапеции.