Номер 1.158, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.158. Найдите координаты вектора $\vec{a}$, если $\vec{i} = (1; 0)$, $\left|\vec{a}\right|=3$, $\widehat{(\vec{i}, \vec{a})}=30^{\circ}$.

Пусть искомый вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x; y)$.
По условию задачи нам даны:
1. Координаты вектора $\vec{i} = (1; 0)$. Этот вектор является единичным вектором оси абсцисс (оси Ox).
2. Модуль (длина) вектора $\vec{a}$ равен $|\vec{a}|=3$.
3. Угол между векторами $\vec{i}$ и $\vec{a}$ равен $(\widehat{\vec{i}, \vec{a}})=30^\circ$.

Для нахождения координат $(x; y)$ вектора $\vec{a}$ можно использовать его представление через модуль и угол с положительным направлением оси Ox. Координаты вектора в таком случае вычисляются по формулам:
$x = |\vec{a}| \cos(\theta)$
$y = |\vec{a}| \sin(\theta)$
где $\theta$ — угол между вектором $\vec{a}$ и положительным направлением оси Ox (то есть вектором $\vec{i}$).

Условие, что угол между векторами $\vec{i}$ и $\vec{a}$ равен $30^\circ$, означает, что вектор $\vec{a}$ может быть расположен либо в первой координатной четверти (угол $\theta = 30^\circ$), либо в четвертой координатной четверти (угол $\theta = -30^\circ$). Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол $\theta = 30^\circ$
Подставляем значения $|\vec{a}|=3$ и $\theta=30^\circ$ в формулы:
$x = 3 \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$y = 3 \cdot \sin(30^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Таким образом, один из возможных векторов имеет координаты $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2})$.

Случай 2: Угол $\theta = -30^\circ$
Подставляем значения $|\vec{a}|=3$ и $\theta=-30^\circ$ в формулы:
$x = 3 \cdot \cos(-30^\circ) = 3 \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$y = 3 \cdot \sin(-30^\circ) = 3 \cdot (-\sin(30^\circ)) = 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$
Таким образом, второй возможный вектор имеет координаты $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; -\frac{3}{2})$.

Этот же результат можно получить, используя определение скалярного произведения векторов.
С одной стороны, скалярное произведение через координаты: $\vec{a} \cdot \vec{i} = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$.
С другой стороны, через модули и угол между ними: $\vec{a} \cdot \vec{i} = |\vec{a}| \cdot |\vec{i}| \cdot \cos(\widehat{\vec{a}, \vec{i}})$.
Модуль вектора $\vec{i}$ равен $|\vec{i}| = \sqrt{1^2+0^2}=1$.
Тогда $\vec{a} \cdot \vec{i} = 3 \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Приравнивая два выражения для скалярного произведения, получаем $x = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Теперь используем формулу модуля вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}|^2 = x^2 + y^2 = 3^2 = 9$.
Подставляем найденное значение $x$:
$(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 + y^2 = 9$
$\frac{27}{4} + y^2 = 9$
$y^2 = 9 - \frac{27}{4} = \frac{36-27}{4} = \frac{9}{4}$
$y = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} = \pm\frac{3}{2}$.
Таким образом, мы получили те же два возможных набора координат для вектора $\vec{a}$.

Ответ: Координаты вектора $\vec{a}$ могут быть $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; \frac{3}{2})$ или $(\frac{3\sqrt{3}}{2}; -\frac{3}{2})$.