Номер 1.153, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.153. Дано $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ и $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=60^{\circ}$. Определите угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{a}+\vec{b}$.

Для определения угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{a} + \vec{b}$ можно использовать два подхода: алгебраический (через скалярное произведение) и геометрический.

Алгебраический способ

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

В нашем случае $\vec{u} = \vec{a}$ и $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$. Обозначим искомый угол как $\theta$. Тогда формула примет вид:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})}{|\vec{a}| |\vec{a} + \vec{b}|}$

Вычислим числитель и знаменатель дроби.

1. Вычисление скалярного произведения в числителе:

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:

$\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b}$

Мы знаем, что $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ и $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\widehat{\vec{a},\vec{b}})$. Подставим данные из условия: $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, $(\widehat{\vec{a},\vec{b}})=60^\circ$.

$\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(60^\circ) = 1^2 + 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Вычисление модулей векторов в знаменателе:

Модуль вектора $\vec{a}$ дан в условии: $|\vec{a}| = 1$.

Найдем модуль вектора $\vec{a} + \vec{b}$. Для этого сначала вычислим его квадрат:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(60^\circ) + |\vec{b}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$

Следовательно, модуль вектора $\vec{a} + \vec{b}$ равен $\sqrt{3}$.

Теперь знаменатель равен: $|\vec{a}| |\vec{a} + \vec{b}| = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

3. Вычисление косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\theta$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.

Геометрический способ

Рассмотрим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, отложенные от одной точки O. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм OACB.

Вектор суммы $\vec{a} + \vec{b}$ соответствует диагонали OC этого параллелограмма.По условию, длины векторов равны: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$. Это означает, что смежные стороны параллелограмма OACB равны, следовательно, этот параллелограмм является ромбом.Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это угол AOB, который равен $60^\circ$.В ромбе диагональ является биссектрисой угла, из которого она выходит. Диагональ OC (вектор $\vec{a} + \vec{b}$) делит угол AOB пополам.Следовательно, искомый угол $\theta$ (угол AOC) между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{a} + \vec{b}$ равен половине угла AOB:

$\theta = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $30^\circ$.