Номер 1.148, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.148. Даны точки A(1; 1), B(4; 1), C(4; 5). Найдите косинусы углов треугольника ABC.

Для нахождения косинусов углов треугольника $ABC$ воспользуемся координатным методом. Косинус угла между двумя векторами можно найти через их скалярное произведение и длины по формуле:

$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} $

Сначала найдем координаты векторов, образующих стороны треугольника, и их длины.

Координаты вершин: $A(1; 1)$, $B(4; 1)$, $C(4; 5)$.

Косинус угла A

Угол $A$ образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4 - 1; 1 - 1) = (3; 0)$

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (4 - 1; 5 - 1) = (3; 4)$

Найдем длины этих векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 9$

Теперь вычислим косинус угла $A$:

$\cos(A) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{9}{3 \cdot 5} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\cos(A) = \frac{3}{5}$.

Косинус угла B

Угол $B$ образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B) = (1 - 4; 1 - 1) = (-3; 0)$

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - 4; 5 - 1) = (0; 4)$

Найдем длины этих векторов:

$|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, то есть угол $B$ равен $90^\circ$. Косинус этого угла равен нулю.

$\cos(B) = \frac{0}{3 \cdot 4} = 0$

Ответ: $\cos(B) = 0$.

Косинус угла C

Угол $C$ образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{CA} = (x_A - x_C; y_A - y_C) = (1 - 4; 1 - 5) = (-3; -4)$

$\vec{CB} = (x_B - x_C; y_B - y_C) = (4 - 4; 1 - 5) = (0; -4)$

Найдем длины этих векторов:

$|\vec{CA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$|\vec{CB}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3) \cdot 0 + (-4) \cdot (-4) = 16$

Теперь вычислим косинус угла $C$:

$\cos(C) = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{16}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\cos(C) = \frac{4}{5}$.