Номер 1.143, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.143. Даны точки A(-1; 2), B(-2; -3), C(1; 4), D(4; 2).

Найдите значение выражения:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CB}$

3) $(\vec{AB} + \vec{CD})(\vec{AC} - \vec{BD})$

4) $(2\vec{AD} - \vec{BC})(\vec{CB} - \vec{CD})$

Для решения задачи сначала найдем координаты необходимых векторов. Даны точки A(-1; 2), B(-2; -3), C(1; 4), D(4; 2). Координаты вектора $\vec{XY}$, где $X(x_1; y_1)$ и $Y(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

$\vec{AB} = (-2 - (-1); -3 - 2) = (-1; -5)$
$\vec{CD} = (4 - 1; 2 - 4) = (3; -2)$
$\vec{AD} = (4 - (-1); 2 - 2) = (5; 0)$
$\vec{AC} = (1 - (-1); 4 - 2) = (2; 2)$
$\vec{BD} = (4 - (-2); 2 - (-3)) = (6; 5)$
$\vec{BC} = (1 - (-2); 4 - (-3)) = (3; 7)$
$\vec{CB} = (-2 - 1; -3 - 4) = (-3; -7)$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}=(a_x; a_y)$ и $\vec{b}=(b_x; b_y)$ находится по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.

1) $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$
Подставляем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ в формулу скалярного произведения:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (-1) \cdot 3 + (-5) \cdot (-2) = -3 + 10 = 7$.
Ответ: 7

2) $\vec{AD} \cdot \vec{CB}$
Подставляем координаты векторов $\vec{AD}$ и $\vec{CB}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{CB} = 5 \cdot (-3) + 0 \cdot (-7) = -15 + 0 = -15$.
Ответ: -15

3) $(\vec{AB} + \vec{CD})(\vec{AC} - \vec{BD})$
Сначала найдем координаты результирующих векторов:
$\vec{AB} + \vec{CD} = (-1 + 3; -5 - 2) = (2; -7)$.
$\vec{AC} - \vec{BD} = (2 - 6; 2 - 5) = (-4; -3)$.
Теперь найдем их скалярное произведение:
$(2; -7) \cdot (-4; -3) = 2 \cdot (-4) + (-7) \cdot (-3) = -8 + 21 = 13$.
Ответ: 13

4) $(2\vec{AD} - \vec{BC})(\vec{CB} - \vec{CD})$
Сначала найдем координаты результирующих векторов:
$2\vec{AD} - \vec{BC} = (2 \cdot 5 - 3; 2 \cdot 0 - 7) = (10 - 3; 0 - 7) = (7; -7)$.
$\vec{CB} - \vec{CD} = (-3 - 3; -7 - (-2)) = (-6; -5)$.
Теперь найдем их скалярное произведение:
$(7; -7) \cdot (-6; -5) = 7 \cdot (-6) + (-7) \cdot (-5) = -42 + 35 = -7$.
Ответ: -7