Номер 1.137, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.137. Найдите $\vec{a} \cdot \vec{b}$, если $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ и угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен:

1) $60^\circ$;

2) $135^\circ$;

3) $90^\circ$;

4) $0^\circ$;

5) $180^\circ$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$,

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\alpha$ — это угол между ними.

В данной задаче нам даны модули векторов $|\vec{a}|=2$ и $|\vec{b}|=3$. Мы будем подставлять эти значения, а также заданные значения угла $\alpha$ в формулу для каждого из пунктов.

1) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $60^\circ$.

Значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Ответ: 3.

2) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $135^\circ$.

Значение косинуса $135^\circ$ равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ) = 6 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -3\sqrt{2}$.

Ответ: $-3\sqrt{2}$.

3) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $90^\circ$.

Значение косинуса $90^\circ$ равно $0$. В этом случае векторы перпендикулярны (ортогональны).

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(90^\circ) = 6 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0.

4) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $0^\circ$.

Значение косинуса $0^\circ$ равно $1$. В этом случае векторы коллинеарны и сонаправлены.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(0^\circ) = 6 \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6.

5) Если угол $(\vec{a}, \vec{b})$ равен $180^\circ$.

Значение косинуса $180^\circ$ равно $-1$. В этом случае векторы коллинеарны и противоположно направлены.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(180^\circ) = 6 \cdot (-1) = -6$.

Ответ: -6.