Номер 1.133, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.133. Докажите, что если два вектора коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Покажите, что имеет место равенство $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$, если $\vec{a}=(x; y)$, $\vec{b}=(u; v)$ и $\vec{a} \parallel \vec{b}$.

Задача состоит из двух связанных частей: доказательства общего утверждения и показа справедливости конкретного равенства, которое из него следует. Решим их последовательно.

Доказательство того, что если два вектора коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны

По определению, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными (пишется $\vec{a} \parallel \vec{b}$), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что существует такое число $k$, называемое коэффициентом пропорциональности, что выполняется равенство $\vec{a} = k\vec{b}$ или $\vec{b} = k\vec{a}$. Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору.

Пусть даны два вектора на плоскости с их координатами: $\vec{a}=(x; y)$ и $\vec{b}=(u; v)$.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Один из векторов — нулевой.Пусть, например, $\vec{b} = \vec{0}$. Это значит, что его координаты $u=0$ и $v=0$. По определению, вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$. Мы можем записать $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a}$, что в координатах выглядит как $(0; 0) = 0 \cdot (x; y)$, то есть $0 = 0 \cdot x$ и $0 = 0 \cdot y$. Это верные равенства, которые показывают, что координаты вектора $\vec{b}$ пропорциональны координатам вектора $\vec{a}$ с коэффициентом $k=0$. Аналогично, если $\vec{a} = \vec{0}$, то $\vec{a} = 0 \cdot \vec{b}$, и его координаты $(0;0)$ пропорциональны координатам $(u;v)$.

2. Оба вектора ненулевые.Если $\vec{a} \parallel \vec{b}$ и оба вектора не равны нулевому вектору, то существует такое действительное число $k \neq 0$, что $\vec{a} = k\vec{b}$.Запишем это векторное равенство в координатной форме:$(x; y) = k \cdot (u; v)$$(x; y) = (ku; kv)$

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Отсюда мы получаем систему из двух уравнений:$x = ku$$y = kv$

Эти равенства по определению означают, что координаты $(x; y)$ вектора $\vec{a}$ пропорциональны координатам $(u; v)$ вектора $\vec{b}$ с коэффициентом пропорциональности $k$.Если координаты вектора $\vec{b}$ не равны нулю ($u \neq 0$ и $v \neq 0$), то можно записать:$\frac{x}{u} = k$ и $\frac{y}{v} = k$, откуда следует равенство $\frac{x}{u} = \frac{y}{v}$.Если одна из координат вектора $\vec{b}$ равна нулю, например $u=0$ (поскольку $\vec{b} \neq \vec{0}$, то $v \neq 0$), то из равенства $x=ku$ следует, что $x=k \cdot 0 = 0$. Таким образом, если первая координата вектора $\vec{b}$ равна нулю, то и первая координата коллинеарного ему вектора $\vec{a}$ также будет равна нулю. Пропорциональность сохраняется.Следовательно, во всех случаях для коллинеарных векторов их соответствующие координаты пропорциональны.

Ответ: Утверждение доказано.

Показ справедливости равенства $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$

Дано, что векторы $\vec{a}=(x; y)$ и $\vec{b}=(u; v)$ коллинеарны ($\vec{a} \parallel \vec{b}$). Необходимо показать, что имеет место равенство $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$.

Запись дробей $\frac{x}{y}$ и $\frac{u}{v}$ предполагает, что знаменатели не равны нулю, то есть $y \neq 0$ и $v \neq 0$. Это означает, что оба вектора не являются нулевыми и не параллельны оси абсцисс (оси Ox).

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и не являются нулевыми, существует такое число $k \neq 0$, что один вектор можно выразить через другой. Возьмем, например, соотношение $\vec{b} = k\vec{a}$.

Запишем это равенство в координатах:$(u; v) = k \cdot (x; y)$$(u; v) = (kx; ky)$

Из этого векторного равенства следует система скалярных равенств для координат:$u = kx$$v = ky$

Теперь рассмотрим отношение $\frac{u}{v}$, подставив в него выражения для $u$ и $v$:$\frac{u}{v} = \frac{kx}{ky}$

Так как по условию $v \neq 0$, из равенства $v=ky$ следует, что $k \neq 0$ и $y \neq 0$. Поэтому мы имеем право сократить дробь на $k$:$\frac{u}{v} = \frac{x}{y}$

Таким образом, мы показали, что равенство $\frac{x}{y} = \frac{u}{v}$ действительно имеет место для коллинеарных векторов $\vec{a}=(x; y)$ и $\vec{b}=(u; v)$ при $y \neq 0$ и $v \neq 0$.

Ответ: Равенство показано.