Номер 1.150, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.150. Даны точки $A(1; 1)$, $B(2; 3)$, $C(0; 4)$, $D(-1; 2)$. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ – прямоугольник.

Для доказательства того, что четырехугольник, заданный координатами вершин A(1; 1), B(2; 3), C(0; 4) и D(-1; 2), является прямоугольником, можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Через свойства диагоналей

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого диагонали равны. Докажем последовательно оба этих свойства для четырехугольника ABCD.

1. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм.

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это равносильно тому, что середины его диагоналей совпадают. Найдем координаты середин диагоналей AC и BD.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находятся по формулам: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Найдем середину диагонали AC, где A(1; 1) и C(0; 4):

$x_{AC} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$

$y_{AC} = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2}$

Середина диагонали AC имеет координаты $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$.

Найдем середину диагонали BD, где B(2; 3) и D(-1; 2):

$x_{BD} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$

$y_{BD} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2}$

Середина диагонали BD имеет координаты $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$.

Поскольку координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, делаем вывод, что ABCD — параллелограмм.

2. Доказательство равенства длин диагоналей.

Теперь необходимо проверить, равны ли длины диагоналей этого параллелограмма. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина диагонали AC:

$|AC| = \sqrt{(0 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Длина диагонали BD:

$|BD| = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Так как $|AC| = |BD| = \sqrt{10}$, диагонали четырехугольника равны.

Поскольку ABCD является параллелограммом с равными диагоналями, он является прямоугольником.

Способ 2: Векторный метод

Можно также доказать, что ABCD является параллелограммом, у которого есть прямой угол.

1. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм.

Проверим равенство векторов, представляющих противоположные стороны, например $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Координаты вектора $\vec{PQ}$ с началом P$(x_P, y_P)$ и концом Q$(x_Q, y_Q)$ равны $(x_Q - x_P, y_Q - y_P)$.

$\vec{AB} = (2-1; 3-1) = (1; 2)$

$\vec{DC} = (0-(-1); 4-2) = (1; 2)$

Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, то ABCD — параллелограмм.

2. Доказательство наличия прямого угла.

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим перпендикулярность смежных сторон, например, AB и AD.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (-1-1; 2-1) = (-2; 1)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 = -2 + 2 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, следовательно, угол $\angle DAB$ — прямой.

Так как ABCD — параллелограмм с прямым углом, он является прямоугольником.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник ABCD является прямоугольником, так как он является параллелограммом (его диагонали имеют общую середину в точке $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$) и его диагонали равны ($|AC| = |BD| = \sqrt{10}$). Альтернативно, это параллелограмм ($\vec{AB} = \vec{DC}$), у которого смежные стороны перпендикулярны ($\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$), что также доказывает, что это прямоугольник.