Номер 1.157, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.157. Докажите, что если в треугольнике две медианы равны между собой, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены две медианы $AE$ и $BD$, причем по условию их длины равны: $AE = BD$. Точка $E$ является серединой стороны $BC$, а точка $D$ — серединой стороны $AC$. Докажем, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а именно, что стороны $AC$ и $BC$ равны.

Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения медиан $AE$ и $BD$ как $O$. По свойству точки пересечения медиан, она делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Таким образом, для медианы $AE$ имеем $AO = \frac{2}{3}AE$ и $OE = \frac{1}{3}AE$. Для медианы $BD$ имеем $BO = \frac{2}{3}BD$ и $OD = \frac{1}{3}BD$.

Поскольку по условию $AE = BD$, мы можем заключить, что соответствующие части этих медиан также равны между собой:$AO = \frac{2}{3}AE = \frac{2}{3}BD = BO$$OE = \frac{1}{3}AE = \frac{1}{3}BD = OD$

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle AOD$ и $\triangle BOE$. Сравним их элементы. Мы установили, что сторона $AO$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $BO$ треугольника $\triangle BOE$. Также мы установили, что сторона $OD$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $OE$ треугольника $\triangle BOE$. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOE$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными пересечением отрезков $AE$ и $BD$.

Следовательно, треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, а именно $AD = BE$.

По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $AC$, а точка $E$ — серединой стороны $BC$. Это значит, что длина стороны $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AD$ ($AC = 2 \cdot AD$), а длина стороны $BC$ равна удвоенной длине отрезка $BE$ ($BC = 2 \cdot BE$).

Так как мы доказали, что $AD = BE$, то отсюда следует, что $2 \cdot AD = 2 \cdot BE$, и, соответственно, $AC = BC$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, в котором две медианы равны, является равнобедренным (в частности, равны стороны, к которым проведены эти медианы).