Номер 1.156, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.156. Докажите, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов непараллельных сторон и удвоенного произведения ее оснований.

Пусть дана произвольная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Введем следующие обозначения для длин ее элементов:

• $a = AD$ — большее основание
• $b = BC$ — меньшее основание
• $c = AB$ — боковая сторона
• $d = CD$ — боковая сторона
• $d_1 = AC$ — диагональ
• $d_2 = BD$ — диагональ

Требуется доказать, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенному произведению оснований, то есть: $d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab$.

Для доказательства проведем из вершин $B$ и $C$ верхнего основания высоты $BH_1$ и $CH_2$ на нижнее основание $AD$. Обозначим высоту трапеции как $h$, тогда $BH_1 = CH_2 = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH_2$. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AH_2^2 + CH_2^2$

Выразим $AH_2$ через основание $a$: $AH_2 = AD - H_2D = a - H_2D$. Тогда:

$d_1^2 = (a - H_2D)^2 + h^2 = a^2 - 2a \cdot H_2D + H_2D^2 + h^2$

Из прямоугольного треугольника $\triangle CDH_2$ по теореме Пифагора имеем $CD^2 = CH_2^2 + H_2D^2$, то есть $d^2 = h^2 + H_2D^2$. Подставим это в выражение для $d_1^2$:

$d_1^2 = a^2 - 2a \cdot H_2D + d^2$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BDH_1$. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BH_1^2 + H_1D^2$

Выразим $H_1D$ через основание $a$: $H_1D = AD - AH_1 = a - AH_1$. Тогда:

$d_2^2 = h^2 + (a - AH_1)^2 = h^2 + a^2 - 2a \cdot AH_1 + AH_1^2$

Из прямоугольного треугольника $\triangle ABH_1$ по теореме Пифагора имеем $AB^2 = BH_1^2 + AH_1^2$, то есть $c^2 = h^2 + AH_1^2$. Подставим это в выражение для $d_2^2$:

$d_2^2 = c^2 + a^2 - 2a \cdot AH_1$

Сложим полученные выражения для квадратов диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + d^2 - 2a \cdot H_2D) + (c^2 + a^2 - 2a \cdot AH_1)$

$d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2a^2 - 2a(AH_1 + H_2D)$

Осталось выразить сумму проекций $AH_1 + H_2D$. Длина основания $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH_1 + H_1H_2 + H_2D$. Четырехугольник $BCH_2H_1$ является прямоугольником, поскольку $BC \parallel H_1H_2$ и $BH_1 \parallel CH_2$ (как перпендикуляры к одной прямой). Следовательно, $H_1H_2 = BC = b$.

Таким образом, $a = AH_1 + b + H_2D$, откуда $AH_1 + H_2D = a - b$.

Подставим это выражение в формулу для суммы квадратов диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2a^2 - 2a(a - b)$

$d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2a^2 - 2a^2 + 2ab$

$d_1^2 + d_2^2 = c^2 + d^2 + 2ab$

Утверждение доказано. Сумма квадратов диагоналей трапеции действительно равна сумме квадратов ее непараллельных сторон и удвоенному произведению ее оснований.

Ответ: Доказано, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов непараллельных сторон и удвоенного произведения ее оснований.