Номер 1.154, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.154. Если в треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $90^\circ$, то необходимо и достаточно выполнение равенства $AC^2=AB^2+BC^2$. Докажите это, применяя скалярное произведение векторов.

Для доказательства данного утверждения, которое является теоремой Пифагора и обратной к ней теоремой, воспользуемся методами векторной алгебры.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Введем векторы, соответствующие его сторонам, с началом в вершине $B$: $\vec{a} = \vec{BA}$ и $\vec{c} = \vec{BC}$. Тогда по правилу вычитания векторов, вектор, соответствующий стороне $AC$, будет $\vec{b} = \vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA} = \vec{c} - \vec{a}$.

Длины сторон треугольника равны модулям соответствующих векторов: $AB = |\vec{a}|$, $BC = |\vec{c}|$, $AC = |\vec{b}|$.

Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату. Найдем квадрат длины стороны $AC$:

$AC^2 = |\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a})$

Используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность и коммутативность), раскроем скобки:

$AC^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{a}$

$AC^2 = |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{a}|^2$

Подставляя обратно длины сторон, получаем общее соотношение:

$AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

Это равенство (векторная форма теоремы косинусов) является основой для дальнейшего доказательства. Утверждение "необходимо и достаточно" требует доказательства в обе стороны.

1. Необходимость

Докажем, что если угол $B$ в треугольнике $ABC$ равен $90^\circ$, то выполняется равенство $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Угол $B$ — это угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Если $\angle B = 90^\circ$, то эти векторы перпендикулярны (ортогональны).

По определению, скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$.

Подставим это значение в выведенное ранее соотношение:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot 0$

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $\angle B = 90^\circ$, то $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

2. Достаточность

Докажем, что если выполняется равенство $AC^2 = AB^2 + BC^2$, то угол $B$ равен $90^\circ$.

Снова воспользуемся основным векторным соотношением:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

По условию, нам дано, что $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Подставим это в левую часть равенства:

$AB^2 + BC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

Вычтем $AB^2 + BC^2$ из обеих частей уравнения:

$0 = -2(\vec{BA} \cdot \vec{BC})$

Отсюда следует, что скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 0$.

Так как $A, B, C$ — вершины треугольника, то стороны $AB$ и $BC$ имеют ненулевую длину, а значит, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ не являются нулевыми. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны.

Следовательно, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны, а угол между ними, который и является углом $B$ треугольника, равен $90^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если $AC^2 = AB^2 + BC^2$, то $\angle B = 90^\circ$.