Номер 1.160, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.160. Даны точки $A(1; 1)$, $B(2; 3)$, $C(5; 0)$, $D(7; -5)$. Покажите, что четырехугольник $ABCD$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является трапецией, нужно показать, что у него есть одна пара параллельных сторон, а другая пара сторон не является параллельной. Параллельность двух прямых на плоскости можно определить по их угловым коэффициентам: если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, находится по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Нам даны координаты вершин четырехугольника: A(1; 1), B(2; 3), C(5; 0), D(7; -5). Вычислим угловые коэффициенты для каждой из его сторон.

1. Угловой коэффициент стороны AB, проходящей через точки A(1; 1) и B(2; 3): $k_{AB} = \frac{3 - 1}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$

2. Угловой коэффициент стороны BC, проходящей через точки B(2; 3) и C(5; 0): $k_{BC} = \frac{0 - 3}{5 - 2} = \frac{-3}{3} = -1$

3. Угловой коэффициент стороны CD, проходящей через точки C(5; 0) и D(7; -5): $k_{CD} = \frac{-5 - 0}{7 - 5} = \frac{-5}{2} = -2.5$

4. Угловой коэффициент стороны DA, проходящей через точки D(7; -5) и A(1; 1): $k_{DA} = \frac{1 - (-5)}{1 - 7} = \frac{1 + 5}{-6} = \frac{6}{-6} = -1$

Теперь сравним угловые коэффициенты противоположных сторон четырехугольника: BC и DA, а также AB и CD.

- Для сторон BC и DA: $k_{BC} = -1$ и $k_{DA} = -1$. Поскольку их угловые коэффициенты равны, стороны BC и DA параллельны ($BC \parallel DA$).

- Для сторон AB и CD: $k_{AB} = 2$ и $k_{CD} = -2.5$. Поскольку их угловые коэффициенты не равны, стороны AB и CD не параллельны.

Так как у четырехугольника ABCD две стороны (BC и DA) параллельны, а две другие (AB и CD) не параллельны, по определению он является трапецией.

Ответ: Четырехугольник ABCD является трапецией, потому что стороны BC и DA параллельны (их угловые коэффициенты равны $-1$), а стороны AB и CD не параллельны (их угловые коэффициенты равны $2$ и $-2.5$ соответственно), что соответствует определению трапеции.