Номер 1.166, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.166. Найдите расстояние от заданной точки до прямой:

1) $A(2; -1)$, $3x+4y-1=0$;

2) $B(-2; 3)$, $x+3y+2=0$;

3) $C(5; -3)$, $2x-y-1=0$;

4) $D(0; -1)$, $4x-y+2=0$.

Для нахождения расстояния $d$ от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, используется следующая формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Применим эту формулу для каждого случая.

1) Найти расстояние от точки $A(2; -1)$ до прямой $3x+4y-1=0$.

В данном случае координаты точки $x_0 = 2$, $y_0 = -1$. Коэффициенты уравнения прямой: $A = 3$, $B = 4$, $C = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 4 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|1|}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $d = \frac{1}{5}$.

2) Найти расстояние от точки $B(-2; 3)$ до прямой $x+3y+2=0$.

Здесь координаты точки $x_0 = -2$, $y_0 = 3$. Коэффициенты уравнения прямой: $A = 1$, $B = 3$, $C = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 + 2|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|-2 + 9 + 2|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|9|}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}}$.

Ответ: $d = \frac{9}{\sqrt{10}}$.

3) Найти расстояние от точки $C(5; -3)$ до прямой $2x-y-1=0$.

Координаты точки $x_0 = 5$, $y_0 = -3$. Коэффициенты уравнения прямой: $A = 2$, $B = -1$, $C = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|2 \cdot 5 + (-1) \cdot (-3) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|10 + 3 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|12|}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $d = \frac{12}{\sqrt{5}}$.

4) Найти расстояние от точки $D(0; -1)$ до прямой $4x-y+2=0$.

Координаты точки $x_0 = 0$, $y_0 = -1$. Коэффициенты уравнения прямой: $A = 4$, $B = -1$, $C = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|4 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 + 1 + 2|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Ответ: $d = \frac{3}{\sqrt{17}}$.