Номер 1.165, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.165. Найдите угол между прямыми:

1) $5x-y+7=0$ и $3x+2y=0$;

2) $3x-2y+7=0$ и $2x+3y-3=0$;

3) $x-2y-4=0$ и $2x-4y+3=0$;

4) $3x+2y-1=0$ и $2x-4y+3=0$.

Угол $\alpha$ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, можно найти как угол между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$. Косинус угла $\phi$ между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{A_1A_2 + B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Угол между прямыми $\alpha$ принято считать острым, поэтому $\alpha = \arccos(|\cos \phi|)$.

1) Даны прямые $5x - y + 7 = 0$ и $3x + 2y = 0$.
Нормальные векторы к этим прямым: $\vec{n_1} = (5, -1)$ и $\vec{n_2} = (3, 2)$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 5 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 15 - 2 = 13$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
Найдем косинус угла $\phi$ между нормальными векторами:
$\cos \phi = \frac{13}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{2 \cdot 13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол между прямыми $\alpha$ равен углу между нормальными векторами (так как косинус положителен, угол острый):
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

2) Даны прямые $3x - 2y + 7 = 0$ и $2x + 3y - 3 = 0$.
Нормальные векторы к этим прямым: $\vec{n_1} = (3, -2)$ и $\vec{n_2} = (2, 3)$.
Проверим условие перпендикулярности прямых $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$:
$3 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0$.
Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами прямые перпендикулярны.
Угол между прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3) Даны прямые $x - 2y - 4 = 0$ и $2x - 4y + 3 = 0$.
Нормальные векторы к этим прямым: $\vec{n_1} = (1, -2)$ и $\vec{n_2} = (2, -4)$.
Проверим условие параллельности прямых: коэффициенты при $x$ и $y$ должны быть пропорциональны, т.е. $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{-2}{-4}$, что равно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Коэффициенты пропорциональны, значит нормальные векторы коллинеарны, а прямые параллельны.
Проверим, не совпадают ли прямые, сравнив отношение свободных членов: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-4}{3}$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые не совпадают.
Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

4) Даны прямые $3x + 2y - 1 = 0$ и $2x - 4y + 3 = 0$.
Нормальные векторы к этим прямым: $\vec{n_1} = (3, 2)$ и $\vec{n_2} = (2, -4)$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 6 - 8 = -2$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Найдем косинус угла $\phi$ между нормальными векторами:
$\cos \phi = \frac{-2}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{65}}$.
Угол между прямыми $\alpha$ является острым, поэтому найдем его косинус как модуль косинуса угла между нормалями:
$\cos \alpha = |\cos \phi| = \left|\frac{-1}{\sqrt{65}}\right| = \frac{1}{\sqrt{65}}$.
Отсюда, $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{65}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{65}}\right)$.