Страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.161. Напишите уравнение прямой, заданной направляющим вектором $\vec{p}$ и точкой $M_0(x_0; y_0)$:

1) $\vec{p}=(2; -1)$, $M_0(-3; 2)$;

2) $\vec{p}=(-3; 4)$, $M_0(3; 5)$;

3) $\vec{p}=(0,5; 2,5)$, $M_0(5; 1)$;

4) $\vec{p}=\left(\frac{1}{3}; 1\frac{1}{2}\right)$, $M_0(0; 1)$.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$ и имеющей направляющий вектор $\vec{p}=(l; m)$, имеет вид: $ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} $. Из этого уравнения можно получить общее уравнение прямой вида $Ax+By+C=0$.

1) Даны направляющий вектор $\vec{p}=(2; -1)$ и точка $M_0(-3; 2)$. Подставим координаты точки $x_0 = -3$, $y_0 = 2$ и координаты вектора $l=2$, $m=-1$ в каноническое уравнение прямой: $ \frac{x - (-3)}{2} = \frac{y - 2}{-1} $, что равносильно $ \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} $. Преобразуем полученное уравнение в общее уравнение прямой, используя свойство пропорции: $ -1 \cdot (x + 3) = 2 \cdot (y - 2) $. Раскрыв скобки, получаем $ -x - 3 = 2y - 4 $. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $ -x - 2y - 3 + 4 = 0 $, что дает $ -x - 2y + 1 = 0 $. Для удобства умножим обе части уравнения на -1: $ x + 2y - 1 = 0 $. Ответ: $x + 2y - 1 = 0$.

2) Даны направляющий вектор $\vec{p}=(-3; 4)$ и точка $M_0(3; 5)$. Подставим координаты точки $x_0 = 3$, $y_0 = 5$ и координаты вектора $l=-3$, $m=4$ в каноническое уравнение: $ \frac{x - 3}{-3} = \frac{y - 5}{4} $. Применим свойство пропорции: $ 4 \cdot (x - 3) = -3 \cdot (y - 5) $. Раскроем скобки: $ 4x - 12 = -3y + 15 $. Перенесем все члены в левую часть: $ 4x + 3y - 12 - 15 = 0 $. Окончательно получаем общее уравнение прямой: $ 4x + 3y - 27 = 0 $. Ответ: $4x + 3y - 27 = 0$.

3) Даны направляющий вектор $\vec{p}=(0,5; 2,5)$ и точка $M_0(5; 1)$. Координаты направляющего вектора можно упростить, умножив их на одно и то же число. Умножим координаты вектора $\vec{p}$ на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: $\vec{p'} = 2 \cdot (0,5; 2,5) = (1; 5)$. Теперь используем точку $M_0(5; 1)$ ($x_0 = 5, y_0 = 1$) и новый направляющий вектор $\vec{p'}=(1; 5)$ ($l=1, m=5$). Каноническое уравнение: $ \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{5} $. Преобразуем его: $ 5(x - 5) = 1(y - 1) $, что дает $ 5x - 25 = y - 1 $. Переносим все члены в одну сторону: $ 5x - y - 25 + 1 = 0 $. Получаем общее уравнение: $ 5x - y - 24 = 0 $. Ответ: $5x - y - 24 = 0$.

4) Даны направляющий вектор $\vec{p}=(\frac{1}{3}; 1\frac{1}{2})$ и точка $M_0(0; 1)$. Сначала преобразуем координаты вектора. $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, поэтому $\vec{p}=(\frac{1}{3}; \frac{3}{2})$. Чтобы избавиться от дробей, умножим координаты на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6: $\vec{p'} = 6 \cdot (\frac{1}{3}; \frac{3}{2}) = (2; 9)$. Теперь используем точку $M_0(0; 1)$ ($x_0 = 0, y_0 = 1$) и направляющий вектор $\vec{p'}=(2; 9)$ ($l=2, m=9$). Каноническое уравнение: $ \frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{9} $ или $ \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{9} $. Преобразуем в общее уравнение: $ 9x = 2(y - 1) $, то есть $ 9x = 2y - 2 $. Переносим все члены в левую часть: $ 9x - 2y + 2 = 0 $. Ответ: $9x - 2y + 2 = 0$.

1.162. Напишите уравнение прямой, проходящей через заданные точки:

1) $A(1; 0), B(0; 1)$;

2) $M_1(-3; 4), M_2(5; 2)$;

3) $C(0; -3), D(4; 1)$;

4) $H(\frac{1}{2}; \frac{1}{3}), K(-2.5; 1\frac{1}{3})$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется следующая формула:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Эта формула справедлива, если $x_1 \ne x_2$ и $y_1 \ne y_2$. Если $x_1 = x_2$, то уравнение прямой $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, то уравнение прямой $y = y_1$.

1) A(1; 0), B(0; 1)

Подставим координаты точек A(1; 0) и B(0; 1) в формулу:

$x_1 = 1, y_1 = 0$

$x_2 = 0, y_2 = 1$

$\frac{x - 1}{0 - 1} = \frac{y - 0}{1 - 0}$

$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{1}$

$-(x - 1) = y$

$-x + 1 = y$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$x + y - 1 = 0$

Примечание: Поскольку точки A(1; 0) и B(0; 1) являются точками пересечения прямой с осями координат, можно использовать уравнение прямой в отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a=1$ – x-перехват и $b=1$ – y-перехват. Получаем $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} = 1$, что эквивалентно $x + y - 1 = 0$.

Ответ: $x + y - 1 = 0$

2) M₁(-3; 4), M₂(5; 2)

Подставим координаты точек M₁(-3; 4) и M₂(5; 2) в формулу:

$x_1 = -3, y_1 = 4$

$x_2 = 5, y_2 = 2$

$\frac{x - (-3)}{5 - (-3)} = \frac{y - 4}{2 - 4}$

$\frac{x + 3}{8} = \frac{y - 4}{-2}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$-2(x + 3) = 8(y - 4)$

Разделим обе части на -2:

$x + 3 = -4(y - 4)$

$x + 3 = -4y + 16$

Перенесем все члены в левую часть:

$x + 4y - 13 = 0$

Ответ: $x + 4y - 13 = 0$

3) C(0; -3), D(4; 1)

Подставим координаты точек C(0; -3) и D(4; 1) в формулу:

$x_1 = 0, y_1 = -3$

$x_2 = 4, y_2 = 1$

$\frac{x - 0}{4 - 0} = \frac{y - (-3)}{1 - (-3)}$

$\frac{x}{4} = \frac{y + 3}{4}$

Умножим обе части на 4:

$x = y + 3$

Приведем уравнение к общему виду:

$x - y - 3 = 0$

Примечание: Так как точка C(0; -3) является точкой пересечения с осью Oy, мы можем использовать уравнение с угловым коэффициентом $y = kx + b$, где $b = -3$. Подставив координаты точки D(4; 1), найдем $k$: $1 = k \cdot 4 - 3 \implies 4k = 4 \implies k = 1$. Уравнение прямой: $y = x - 3$, или $x - y - 3 = 0$.

Ответ: $x - y - 3 = 0$

4) H(1/2; 1/3), K(-2,5; 1 1/3)

Преобразуем координаты точек в обыкновенные дроби:

$H(\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$

$K(-2,5; 1 \frac{1}{3}) = K(-\frac{5}{2}; \frac{4}{3})$

Подставим координаты в формулу:

$x_1 = \frac{1}{2}, y_1 = \frac{1}{3}$

$x_2 = -\frac{5}{2}, y_2 = \frac{4}{3}$

$\frac{x - \frac{1}{2}}{-\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{y - \frac{1}{3}}{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}$

Вычислим значения в знаменателях:

$x_2 - x_1 = -\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} = -3$

$y_2 - y_1 = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Подставим полученные значения в уравнение:

$\frac{x - \frac{1}{2}}{-3} = \frac{y - \frac{1}{3}}{1}$

$x - \frac{1}{2} = -3(y - \frac{1}{3})$

$x - \frac{1}{2} = -3y + 1$

$x + 3y = 1 + \frac{1}{2}$

$x + 3y = \frac{3}{2}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2(x + 3y) = 3$

$2x + 6y = 3$

Приведем к общему виду:

$2x + 6y - 3 = 0$

Ответ: $2x + 6y - 3 = 0$

1.163. Напишите уравнение прямой, заданной точкой $M_0(x_0; y_0)$ и вектором нормали $\vec{n}$:

1) $M_0(2; -1)$, $\vec{n}=(-3; 2);$

2) $M_0(-3; 4)$, $\vec{n}=(3; 5);$

3) $M_0(2; -3)$, $\vec{n}=(0,5; 2,5);$

4) $M_0(\frac{2}{3}; -1,5)$, $\vec{n}=(0;1).$

Общее уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$ и имеющей вектор нормали $\vec{n}=(A; B)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

1) Дана точка $M_0(2; -1)$ и вектор нормали $\vec{n}=(-3; 2)$.

В данном случае, $x_0 = 2$, $y_0 = -1$, $A = -3$ и $B = 2$.

Подставим эти значения в общую формулу уравнения прямой:

$-3(x - 2) + 2(y - (-1)) = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$-3x + 6 + 2y + 2 = 0$

$-3x + 2y + 8 = 0$

Для удобства можно умножить уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$3x - 2y - 8 = 0$

Ответ: $3x - 2y - 8 = 0$.

2) Дана точка $M_0(-3; 4)$ и вектор нормали $\vec{n}=(3; 5)$.

Здесь $x_0 = -3$, $y_0 = 4$, $A = 3$ и $B = 5$.

Подставим эти значения в формулу:

$3(x - (-3)) + 5(y - 4) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3(x + 3) + 5(y - 4) = 0$

$3x + 9 + 5y - 20 = 0$

$3x + 5y - 11 = 0$

Ответ: $3x + 5y - 11 = 0$.

3) Дана точка $M_0(2; -3)$ и вектор нормали $\vec{n}=(0,5; 2,5)$.

Здесь $x_0 = 2$, $y_0 = -3$, $A = 0,5$ и $B = 2,5$.

Подставим значения в формулу:

$0,5(x - 2) + 2,5(y - (-3)) = 0$

Упростим выражение:

$0,5(x - 2) + 2,5(y + 3) = 0$

$0,5x - 1 + 2,5y + 7,5 = 0$

$0,5x + 2,5y + 6,5 = 0$

Чтобы избавиться от десятичных дробей в коэффициентах, умножим все уравнение на 2:

$2 \cdot (0,5x + 2,5y + 6,5) = 2 \cdot 0$

$x + 5y + 13 = 0$

Ответ: $x + 5y + 13 = 0$.

4) Дана точка $M_0(\frac{2}{3}; -1,5)$ и вектор нормали $\vec{n}=(0; 1)$.

В этом случае $x_0 = \frac{2}{3}$, $y_0 = -1,5$, $A = 0$ и $B = 1$.

Подставим значения в формулу:

$0 \cdot (x - \frac{2}{3}) + 1 \cdot (y - (-1,5)) = 0$

Упростим выражение:

$0 + y + 1,5 = 0$

$y + 1,5 = 0$

Это уравнение является горизонтальной прямой. Его можно записать с целыми коэффициентами, умножив обе части на 2:

$2y + 3 = 0$

Ответ: $y + 1,5 = 0$ (или $2y + 3 = 0$).

1.164. Найдите направляющий вектор, вектор нормали и угловой коэффициент прямой:

1) $x+y+4=0;$

2) $2x-y-3=0;$

3) $3x+4y-1=0;$

4) $2y-x+3=0;$

5) $5x+6y=0;$

6) $x-y=0.$

Для нахождения искомых величин воспользуемся свойствами прямой, заданной общим уравнением $Ax+By+C=0$.

Вектор нормали (вектор, перпендикулярный прямой) имеет координаты $\vec{n}=(A, B)$.

Направляющий вектор (вектор, параллельный прямой) имеет координаты $\vec{s}=(-B, A)$, так как он должен быть перпендикулярен вектору нормали (их скалярное произведение равно нулю: $A \cdot (-B) + B \cdot A = 0$).

Угловой коэффициент $k$ можно найти, выразив $y$ из общего уравнения: $By = -Ax - C \Rightarrow y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$. Следовательно, угловой коэффициент $k = -\frac{A}{B}$ (при условии, что $B \neq 0$).

1) Для прямой $x+y+4=0$ коэффициенты равны $A=1$, $B=1$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(1, 1)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-1, 1)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{1}{1} = -1$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-1, 1)$, вектор нормали $\vec{n}=(1, 1)$, угловой коэффициент $k=-1$.

2) Для прямой $2x-y-3=0$ коэффициенты равны $A=2$, $B=-1$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(2, -1)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-(-1), 2) = (1, 2)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{2}{-1} = 2$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(1, 2)$, вектор нормали $\vec{n}=(2, -1)$, угловой коэффициент $k=2$.

3) Для прямой $3x+4y-1=0$ коэффициенты равны $A=3$, $B=4$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(3, 4)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-4, 3)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{3}{4}$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-4, 3)$, вектор нормали $\vec{n}=(3, 4)$, угловой коэффициент $k=-3/4$.

4) Для прямой $2y-x+3=0$, которую можно записать в стандартном виде $-x+2y+3=0$, коэффициенты равны $A=-1$, $B=2$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(-1, 2)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-2, -1)$. Любой коллинеарный ему вектор, например $(2, 1)$, также является направляющим.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-2, -1)$ или $\vec{s}=(2, 1)$, вектор нормали $\vec{n}=(-1, 2)$, угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$.

5) Для прямой $5x+6y=0$ коэффициенты равны $A=5$, $B=6$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(5, 6)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-6, 5)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{5}{6}$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-6, 5)$, вектор нормали $\vec{n}=(5, 6)$, угловой коэффициент $k=-5/6$.

6) Для прямой $x-y=0$ коэффициенты равны $A=1$, $B=-1$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(1, -1)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-(-1), 1) = (1, 1)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{1}{-1} = 1$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(1, 1)$, вектор нормали $\vec{n}=(1, -1)$, угловой коэффициент $k=1$.

1.165. Найдите угол между прямыми:

1) $5x-y+7=0$ и $3x+2y=0$;

2) $3x-2y+7=0$ и $2x+3y-3=0$;

3) $x-2y-4=0$ и $2x-4y+3=0$;

4) $3x+2y-1=0$ и $2x-4y+3=0$.

Угол $\alpha$ между двумя прямыми, заданными общими уравнениями $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2 = 0$, можно найти как угол между их нормальными векторами $\vec{n_1} = (A_1, B_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2)$. Косинус угла $\phi$ между векторами вычисляется по формуле:

$\cos \phi = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{A_1A_2 + B_1B_2}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2} \sqrt{A_2^2 + B_2^2}}$

Угол между прямыми $\alpha$ принято считать острым, поэтому $\alpha = \arccos(|\cos \phi|)$.

1) Даны прямые $5x - y + 7 = 0$ и $3x + 2y = 0$.
Нормальные векторы к этим прямым: $\vec{n_1} = (5, -1)$ и $\vec{n_2} = (3, 2)$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 5 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 = 15 - 2 = 13$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
Найдем косинус угла $\phi$ между нормальными векторами:
$\cos \phi = \frac{13}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{2 \cdot 13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол между прямыми $\alpha$ равен углу между нормальными векторами (так как косинус положителен, угол острый):
$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

2) Даны прямые $3x - 2y + 7 = 0$ и $2x + 3y - 3 = 0$.
Нормальные векторы к этим прямым: $\vec{n_1} = (3, -2)$ и $\vec{n_2} = (2, 3)$.
Проверим условие перпендикулярности прямых $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$:
$3 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0$.
Поскольку скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, и сами прямые перпендикулярны.
Угол между прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3) Даны прямые $x - 2y - 4 = 0$ и $2x - 4y + 3 = 0$.
Нормальные векторы к этим прямым: $\vec{n_1} = (1, -2)$ и $\vec{n_2} = (2, -4)$.
Проверим условие параллельности прямых: коэффициенты при $x$ и $y$ должны быть пропорциональны, т.е. $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{-2}{-4}$, что равно $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Коэффициенты пропорциональны, значит нормальные векторы коллинеарны, а прямые параллельны.
Проверим, не совпадают ли прямые, сравнив отношение свободных членов: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{-4}{3}$.
Так как $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$, прямые не совпадают.
Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$.

4) Даны прямые $3x + 2y - 1 = 0$ и $2x - 4y + 3 = 0$.
Нормальные векторы к этим прямым: $\vec{n_1} = (3, 2)$ и $\vec{n_2} = (2, -4)$.
Найдем скалярное произведение векторов:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-4) = 6 - 8 = -2$.
Найдем модули векторов:
$|\vec{n_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Найдем косинус угла $\phi$ между нормальными векторами:
$\cos \phi = \frac{-2}{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{65}}$.
Угол между прямыми $\alpha$ является острым, поэтому найдем его косинус как модуль косинуса угла между нормалями:
$\cos \alpha = |\cos \phi| = \left|\frac{-1}{\sqrt{65}}\right| = \frac{1}{\sqrt{65}}$.
Отсюда, $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{65}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{\sqrt{65}}\right)$.

1.166. Найдите расстояние от заданной точки до прямой:

1) $A(2; -1)$, $3x+4y-1=0$;

2) $B(-2; 3)$, $x+3y+2=0$;

3) $C(5; -3)$, $2x-y-1=0$;

4) $D(0; -1)$, $4x-y+2=0$.

Для нахождения расстояния $d$ от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, используется следующая формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Применим эту формулу для каждого случая.

1) Найти расстояние от точки $A(2; -1)$ до прямой $3x+4y-1=0$.

В данном случае координаты точки $x_0 = 2$, $y_0 = -1$. Коэффициенты уравнения прямой: $A = 3$, $B = 4$, $C = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 - 4 - 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|1|}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $d = \frac{1}{5}$.

2) Найти расстояние от точки $B(-2; 3)$ до прямой $x+3y+2=0$.

Здесь координаты точки $x_0 = -2$, $y_0 = 3$. Коэффициенты уравнения прямой: $A = 1$, $B = 3$, $C = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 + 2|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|-2 + 9 + 2|}{\sqrt{1 + 9}} = \frac{|9|}{\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}}$.

Ответ: $d = \frac{9}{\sqrt{10}}$.

3) Найти расстояние от точки $C(5; -3)$ до прямой $2x-y-1=0$.

Координаты точки $x_0 = 5$, $y_0 = -3$. Коэффициенты уравнения прямой: $A = 2$, $B = -1$, $C = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|2 \cdot 5 + (-1) \cdot (-3) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|10 + 3 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|12|}{\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $d = \frac{12}{\sqrt{5}}$.

4) Найти расстояние от точки $D(0; -1)$ до прямой $4x-y+2=0$.

Координаты точки $x_0 = 0$, $y_0 = -1$. Коэффициенты уравнения прямой: $A = 4$, $B = -1$, $C = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|4 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 + 1 + 2|}{\sqrt{16 + 1}} = \frac{|3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Ответ: $d = \frac{3}{\sqrt{17}}$.