Страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.167. Треугольник ABC задан уравнениями прямых, проходящих через его стороны: $4x-3y-65=0$, $7x-24y+55=0$ и $3x+4y-5=0$. Найдите координаты его вершин.

Вершины треугольника являются точками пересечения прямых, на которых лежат его стороны. Чтобы найти координаты вершин, необходимо попарно решить системы уравнений, задающих эти прямые.

Даны уравнения сторон треугольника:

1) $4x - 3y - 65 = 0$

2) $7x - 24y + 55 = 0$

3) $3x + 4y - 5 = 0$

1. Найдем координаты первой вершины (точка пересечения прямых 1 и 2)

Для этого решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 3y - 65 = 0 \\ 7x - 24y + 55 = 0 \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 8, чтобы коэффициенты при $y$ стали равны по модулю:

$ \begin{cases} 32x - 24y - 520 = 0 \\ 7x - 24y + 55 = 0 \end{cases} $

Вычтем второе уравнение из первого:

$(32x - 24y - 520) - (7x - 24y + 55) = 0$

$32x - 7x - 520 - 55 = 0$

$25x - 575 = 0$

$25x = 575$

$x = 23$

Подставим найденное значение $x$ в первое исходное уравнение:

$4(23) - 3y - 65 = 0$

$92 - 3y - 65 = 0$

$27 - 3y = 0$

$3y = 27$

$y = 9$

Таким образом, координаты первой вершины: $(23, 9)$.

2. Найдем координаты второй вершины (точка пересечения прямых 1 и 3)

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 4x - 3y - 65 = 0 \\ 3x + 4y - 5 = 0 \end{cases} $

Для решения методом сложения умножим первое уравнение на 4, а второе на 3:

$ \begin{cases} 16x - 12y - 260 = 0 \\ 9x + 12y - 15 = 0 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(16x - 12y - 260) + (9x + 12y - 15) = 0$

$25x - 275 = 0$

$25x = 275$

$x = 11$

Подставим $x = 11$ во второе исходное уравнение:

$3(11) + 4y - 5 = 0$

$33 + 4y - 5 = 0$

$28 + 4y = 0$

$4y = -28$

$y = -7$

Координаты второй вершины: $(11, -7)$.

3. Найдем координаты третьей вершины (точка пересечения прямых 2 и 3)

Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 24y + 55 = 0 \\ 3x + 4y - 5 = 0 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 6, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$ \begin{cases} 7x - 24y + 55 = 0 \\ 18x + 24y - 30 = 0 \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:

$(7x - 24y + 55) + (18x + 24y - 30) = 0$

$25x + 25 = 0$

$25x = -25$

$x = -1$

Подставим $x = -1$ во второе исходное уравнение:

$3(-1) + 4y - 5 = 0$

$-3 + 4y - 5 = 0$

$4y - 8 = 0$

$4y = 8$

$y = 2$

Координаты третьей вершины: $(-1, 2)$.

Ответ: Координаты вершин треугольника: $(23, 9)$, $(11, -7)$, $(-1, 2)$.

1.168. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(2; 1)$, $B(-1; 4)$ и $C(3; -2)$. Найдите:

1) уравнения сторон $AB, AC, BC$;

2) уравнения прямых, проходящих через высоты $AH_1, BH_2, CH_3$;

3) углы треугольника;

4) длины высот.

1) уравнения сторон AB, AC, BC;

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
- Уравнение стороны AB, проходящей через точки A(2; 1) и B(-1; 4):
$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - 1}{4 - 1}$
$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 1}{3}$
$x - 2 = -(y - 1)$
$x + y - 3 = 0$

- Уравнение стороны AC, проходящей через точки A(2; 1) и C(3; -2):
$\frac{x - 2}{3 - 2} = \frac{y - 1}{-2 - 1}$
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{-3}$
$-3(x - 2) = y - 1$
$3x + y - 7 = 0$

- Уравнение стороны BC, проходящей через точки B(-1; 4) и C(3; -2):
$\frac{x - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{y - 4}{-2 - 4}$
$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 4}{-6}$
$-3(x + 1) = 2(y - 4)$
$3x + 2y - 5 = 0$

Ответ: Уравнение стороны AB: $x + y - 3 = 0$. Уравнение стороны AC: $3x + y - 7 = 0$. Уравнение стороны BC: $3x + 2y - 5 = 0$.

2) уравнения прямых, проходящих через высоты AH₁, BH₂, CH₃;

Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Угловой коэффициент $k_h$ прямой, содержащей высоту, и угловой коэффициент $k_s$ соответствующей стороны связаны соотношением $k_h = -1/k_s$. Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.
- Высота AH₁ проведена из вершины A(2; 1) к стороне BC. Угловой коэффициент прямой BC ($y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$) равен $k_{BC} = -\frac{3}{2}$. Угловой коэффициент высоты AH₁: $k_{AH_1} = -1/(-\frac{3}{2}) = \frac{2}{3}$.
Уравнение AH₁:
$y - 1 = \frac{2}{3}(x - 2)$
$3y - 3 = 2x - 4$
$2x - 3y - 1 = 0$

- Высота BH₂ проведена из вершины B(-1; 4) к стороне AC. Угловой коэффициент прямой AC ($y = -3x + 7$) равен $k_{AC} = -3$. Угловой коэффициент высоты BH₂: $k_{BH_2} = -1/(-3) = \frac{1}{3}$.
Уравнение BH₂:
$y - 4 = \frac{1}{3}(x + 1)$
$3y - 12 = x + 1$
$x - 3y + 13 = 0$

- Высота CH₃ проведена из вершины C(3; -2) к стороне AB. Угловой коэффициент прямой AB ($y = -x + 3$) равен $k_{AB} = -1$. Угловой коэффициент высоты CH₃: $k_{CH_3} = -1/(-1) = 1$.
Уравнение CH₃:
$y - (-2) = 1(x - 3)$
$y + 2 = x - 3$
$x - y - 5 = 0$

Ответ: Уравнение высоты AH₁: $2x - 3y - 1 = 0$. Уравнение высоты BH₂: $x - 3y + 13 = 0$. Уравнение высоты CH₃: $x - y - 5 = 0$.

3) углы треугольника;

Углы треугольника найдем с помощью скалярного произведения векторов. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
Найдем векторы, исходящие из вершин:
$\vec{AB} = (-1-2, 4-1) = (-3, 3)$
$\vec{AC} = (3-2, -2-1) = (1, -3)$
$\vec{BA} = (3, -3)$, $\vec{BC} = (4, -6)$
$\vec{CA} = (-1, 3)$, $\vec{CB} = (-4, 6)$

- Угол A (между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$):
$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{(-3)(1) + (3)(-3)}{\sqrt{(-3)^2+3^2}\sqrt{1^2+(-3)^2}} = \frac{-12}{\sqrt{18}\sqrt{10}} = \frac{-12}{\sqrt{180}} = \frac{-12}{6\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$
$A = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

- Угол B (между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$):
$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(3)(4) + (-3)(-6)}{\sqrt{3^2+(-3)^2}\sqrt{4^2+(-6)^2}} = \frac{12+18}{\sqrt{18}\sqrt{52}} = \frac{30}{\sqrt{936}} = \frac{30}{6\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$
$B = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)$

- Угол C (между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$):
$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} = \frac{(-1)(-4) + (3)(6)}{\sqrt{(-1)^2+3^2}\sqrt{(-4)^2+6^2}} = \frac{4+18}{\sqrt{10}\sqrt{52}} = \frac{22}{\sqrt{520}} = \frac{22}{2\sqrt{130}} = \frac{11}{\sqrt{130}}$
$C = \arccos\left(\frac{11}{\sqrt{130}}\right)$

Ответ: Угол A: $\arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$. Угол B: $\arccos\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)$. Угол C: $\arccos\left(\frac{11}{\sqrt{130}}\right)$.

4) длины высот.

Длину высоты можно найти как расстояние от вершины до прямой, содержащей противолежащую сторону. Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
- Длина высоты AH₁, опущенной из точки A(2; 1) на прямую BC ($3x+2y-5=0$):
$|AH_1| = \frac{|3(2) + 2(1) - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$

- Длина высоты BH₂, опущенной из точки B(-1; 4) на прямую AC ($3x+y-7=0$):
$|BH_2| = \frac{|3(-1) + 1(4) - 7|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-3 + 4 - 7|}{\sqrt{10}} = \frac{|-6|}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}}$

- Длина высоты CH₃, опущенной из точки C(3; -2) на прямую AB ($x+y-3=0$):
$|CH_3| = \frac{|1(3) + 1(-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3 - 2 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: Длина высоты AH₁: $\frac{3}{\sqrt{13}}$. Длина высоты BH₂: $\frac{6}{\sqrt{10}}$. Длина высоты CH₃: $\sqrt{2}$.

1.169. Напишите уравнение прямой по угловому коэффициенту $k$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:
1) $k=1$, $M_0(0; 1)$;
2) $k=-2$, $M_0(1; -2)$;
3) $k=\frac{1}{2}$, $M_0(1; 0)$;
4) $k=-\frac{1}{3}$, $M_0(\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$, имеет вид (уравнение прямой в форме "с угловым коэффициентом и точкой"): $y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим данные для каждого случая в эту формулу.

1) Дано: угловой коэффициент $k=1$ и точка $M_0(0; 1)$.

Здесь $x_0=0$ и $y_0=1$. Подставляем эти значения в общую формулу: $y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$

Упрощаем полученное выражение, чтобы получить уравнение прямой: $y - 1 = x$ $y = x + 1$

Ответ: $y = x + 1$

2) Дано: угловой коэффициент $k=-2$ и точка $M_0(1; -2)$.

Здесь $x_0=1$ и $y_0=-2$. Подставляем эти значения: $y - (-2) = -2 \cdot (x - 1)$

Упрощаем выражение: $y + 2 = -2x + 2$ $y = -2x + 2 - 2$ $y = -2x$

Ответ: $y = -2x$

3) Дано: угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$ и точка $M_0(1; 0)$.

Здесь $x_0=1$ и $y_0=0$. Подставляем значения: $y - 0 = \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Упрощаем: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Это уравнение можно также записать в общем виде, умножив обе части на 2, чтобы избавиться от дробей: $2y = x - 1$ $x - 2y - 1 = 0$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

4) Дано: угловой коэффициент $k=-\frac{1}{3}$ и точка $M_0(\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$.

Здесь $x_0=\frac{1}{2}$ и $y_0=\frac{1}{3}$. Подставляем значения: $y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Упрощаем выражение: $y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}x + (-\frac{1}{3}) \cdot (-\frac{1}{2})$ $y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{6}$

Переносим $-\frac{1}{3}$ в правую часть: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$

Приводим дроби в правой части к общему знаменателю 6: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{6} + \frac{2}{6}$ $y = -\frac{1}{3}x + \frac{3}{6}$ $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$

Это уравнение можно также записать в общем виде, умножив обе части на 6: $6y = -2x + 3$ $2x + 6y - 3 = 0$

Ответ: $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}$

1.170. Напишите уравнения прямых, изображенных на рис. 1.40, а), б), в), г). Найдите:
1) направляющий вектор;
2) вектор нормали;
3) угловой коэффициент этих прямых.

Для решения данной задачи необходимы изображения прямых с рисунка 1.40. Поскольку изображения отсутствуют, в ответе будет продемонстрирован общий метод решения на четырёх гипотетических примерах, которые могут соответствовать прямым, обозначенным буквами а), б), в) и г).

Общий подход к решению:
1. По графику прямой определить координаты двух удобных точек, через которые она проходит. Обозначим их $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$.
2. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
3. Из канонического уравнения получить общее уравнение прямой вида $Ax + By + C = 0$ и, если возможно, уравнение с угловым коэффициентом вида $y = kx + b$.
4. Найти требуемые характеристики прямой:
- Направляющий вектор $\vec{s}=(l, m)$ — его координаты равны знаменателям в каноническом уравнении: $l=x_2-x_1$, $m=y_2-y_1$.
- Вектор нормали $\vec{n}=(A, B)$ — его координаты равны коэффициентам при $x$ и $y$ в общем уравнении.
- Угловой коэффициент $k$ — равен коэффициенту при $x$ в уравнении $y = kx + b$. Его также можно найти по формулам $k = -A/B$ или $k=m/l$.

а)

Предположим, что прямая а) проходит через точки $M_1(1, 2)$ и $M_2(3, 6)$.
Уравнение прямой:
Составим каноническое уравнение: $\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{6 - 2} \implies \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4}$.
Упростим, умножив обе части на 4: $2(x - 1) = y - 2 \implies 2x - 2 = y - 2 \implies y = 2x$.
Общее уравнение: $2x - y = 0$.
Уравнение с угловым коэффициентом: $y = 2x$.

1) Направляющий вектор:
Из канонического уравнения $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4}$ координаты направляющего вектора $\vec{s}=(2, 4)$. Можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив координаты на 2: $\vec{s}=(1, 2)$.

2) Вектор нормали:
Из общего уравнения $2x - 1y + 0 = 0$ координаты вектора нормали $\vec{n}=(2, -1)$.

3) Угловой коэффициент:
Из уравнения $y=2x$ угловой коэффициент $k=2$.

Ответ: Уравнение: $2x-y=0$. 1) Направляющий вектор: $\vec{s}=(1, 2)$. 2) Вектор нормали: $\vec{n}=(2, -1)$. 3) Угловой коэффициент: $k=2$.

б)

Предположим, что прямая б) проходит через точки $M_1(-1, 3)$ и $M_2(5, 0)$.
Уравнение прямой:
Каноническое уравнение: $\frac{x - (-1)}{5 - (-1)} = \frac{y - 3}{0 - 3} \implies \frac{x + 1}{6} = \frac{y - 3}{-3}$.
Упростим, умножив на 6: $x + 1 = -2(y - 3) \implies x + 1 = -2y + 6 \implies x + 2y - 5 = 0$.
Общее уравнение: $x + 2y - 5 = 0$.
Уравнение с угловым коэффициентом: $2y = -x + 5 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

1) Направляющий вектор:
Из канонического уравнения $\vec{s}=(6, -3)$. Упрощенный коллинеарный вектор: $\vec{s}=(2, -1)$.

2) Вектор нормали:
Из общего уравнения $1x + 2y - 5 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(1, 2)$.

3) Угловой коэффициент:
Из уравнения $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$.

Ответ: Уравнение: $x+2y-5=0$. 1) Направляющий вектор: $\vec{s}=(2, -1)$. 2) Вектор нормали: $\vec{n}=(1, 2)$. 3) Угловой коэффициент: $k = -1/2$.

в)

Предположим, что прямая в) — горизонтальная и проходит через точку $M_1(0, -3)$.
Уравнение прямой:
Для любой точки на этой прямой координата $y$ равна -3. Уравнение имеет вид $y = -3$.
Общее уравнение: $0x + 1y + 3 = 0$.
Каноническое уравнение в стандартной форме не используется.

1) Направляющий вектор:
Прямая параллельна оси Ox, поэтому ее направляющий вектор коллинеарен вектору оси Ox. $\vec{s}=(1, 0)$.

2) Вектор нормали:
Из общего уравнения $0x + 1y + 3 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(0, 1)$. Он перпендикулярен прямой.

3) Угловой коэффициент:
Для любой горизонтальной прямой угловой коэффициент $k=0$.

Ответ: Уравнение: $y+3=0$. 1) Направляющий вектор: $\vec{s}=(1, 0)$. 2) Вектор нормали: $\vec{n}=(0, 1)$. 3) Угловой коэффициент: $k=0$.

г)

Предположим, что прямая г) — вертикальная и проходит через точку $M_1(4, 0)$.
Уравнение прямой:
Для любой точки на этой прямой координата $x$ равна 4. Уравнение имеет вид $x = 4$.
Общее уравнение: $1x + 0y - 4 = 0$.
Уравнение с угловым коэффициентом для такой прямой не существует.

1) Направляющий вектор:
Прямая параллельна оси Oy, поэтому ее направляющий вектор коллинеарен вектору оси Oy. $\vec{s}=(0, 1)$.

2) Вектор нормали:
Из общего уравнения $1x + 0y - 4 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(1, 0)$. Он перпендикулярен прямой.

3) Угловой коэффициент:
Для любой вертикальной прямой угловой коэффициент не определен.

Ответ: Уравнение: $x-4=0$. 1) Направляющий вектор: $\vec{s}=(0, 1)$. 2) Вектор нормали: $\vec{n}=(1, 0)$. 3) Угловой коэффициент: не определен.

1.171. Прямая, проходящая через точку $M_0(x_0; y_0)$ с направляющим вектором $\vec{p}=(\alpha; \beta)$, параллельна оси:

1) $Ox$;

2) $Oy$.

Как записывается направляющий вектор и уравнение этой прямой?

1) Ox;
Если прямая параллельна оси абсцисс (Ox), то её направляющий вектор $\vec{p}=(\alpha; \beta)$ должен быть коллинеарен (параллелен) направляющему вектору оси Ox. В качестве направляющего вектора для оси Ox можно взять единичный вектор (орт) $\vec{i}=(1; 0)$.
Условие коллинеарности векторов $\vec{p}$ и $\vec{i}$ означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. Отсюда следует, что вторая координата вектора $\vec{p}$ должна быть равна нулю: $\beta = 0$. Поскольку направляющий вектор по определению не может быть нулевым, его первая координата должна быть отлична от нуля: $\alpha \neq 0$.
Таким образом, направляющий вектор прямой имеет вид $\vec{p}=(\alpha; 0)$, где $\alpha$ — любое действительное число, не равное нулю.
Уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$ с направляющим вектором $\vec{p}=(\alpha; \beta)$, в параметрической форме записывается как система:
$\begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + \beta t \end{cases}$
Подставив $\beta = 0$, получаем:
$\begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + 0 \cdot t \end{cases}$
Из второго уравнения системы следует, что для любой точки на прямой ордината постоянна и равна $y_0$. Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y = y_0$.
Ответ: Направляющий вектор записывается как $\vec{p}=(\alpha; 0)$, где $\alpha \neq 0$. Уравнение прямой: $y = y_0$.

2) Oy;
Если прямая параллельна оси ординат (Oy), то её направляющий вектор $\vec{p}=(\alpha; \beta)$ должен быть коллинеарен направляющему вектору оси Oy, в качестве которого можно взять орт $\vec{j}=(0; 1)$.
Условие коллинеарности векторов $\vec{p}$ и $\vec{j}$ означает, что первая координата вектора $\vec{p}$ должна быть равна нулю: $\alpha = 0$. Так как направляющий вектор не может быть нулевым, его вторая координата должна быть отлична от нуля: $\beta \neq 0$.
Таким образом, направляющий вектор прямой имеет вид $\vec{p}=(0; \beta)$, где $\beta$ — любое действительное число, не равное нулю.
Используем параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$:
$\begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + \beta t \end{cases}$
Подставив $\alpha = 0$, получаем:
$\begin{cases} x = x_0 + 0 \cdot t \\ y = y_0 + \beta t \end{cases}$
Из первого уравнения системы следует, что для любой точки на прямой абсцисса постоянна и равна $x_0$. Следовательно, уравнение прямой имеет вид $x = x_0$.
Ответ: Направляющий вектор записывается как $\vec{p}=(0; \beta)$, где $\beta \neq 0$. Уравнение прямой: $x = x_0$.

1.172. Какое условие должно выполняться для того, чтобы прямые, заданные уравнениями $a_1x+b_1y+c_1=0$ и $a_2x+b_2y+c_2=0$,

1) были параллельны;

2) были перпендикулярны;

3) совпадали?

Пусть даны две прямые, заданные общими уравнениями $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ и $a_2x + b_2y + c_2 = 0$. Их взаимное расположение можно определить через их нормальные векторы $\vec{n}_1 = (a_1, b_1)$ и $\vec{n}_2 = (a_2, b_2)$ или через их угловые коэффициенты.

1) были параллельны

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны (параллельны). Векторы $\vec{n}_1 = (a_1, b_1)$ и $\vec{n}_2 = (a_2, b_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это условие можно записать в виде пропорции $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ (при условии, что $a_2 \neq 0, b_2 \neq 0$). В общем виде, не зависящем от равенства коэффициентов нулю, это условие записывается как $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$. Стоит отметить, что совпадающие прямые являются частным случаем параллельных, и для них это условие также выполняется.

Ответ: Коэффициенты при переменных пропорциональны: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, или в общем виде $a_1b_2 - a_2b_1 = 0$.

2) были перпендикулярны

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы $\vec{n}_1 = (a_1, b_1)$ и $\vec{n}_2 = (a_2, b_2)$ ортогональны (взаимно перпендикулярны). Векторы ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$. Вычисляя скалярное произведение, получаем искомое условие.

Ответ: $a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.

3) совпадали

Две прямые совпадают, если они являются одной и той же линией. Это означает, что одно уравнение прямой может быть получено из другого путем умножения на некоторый ненулевой множитель $\lambda$. Следовательно, все коэффициенты одного уравнения должны быть пропорциональны соответствующим коэффициентам другого, включая свободные члены.

Ответ: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

1.173. Найдите угловой коэффициент прямой: 1) $-2x-3y=4$; 2) $y=-5$; 3) $x=3$; 4) проходящей через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$.

a) $A(0; 2)$, $30^\circ$, $0$, $x$, $y$

б) $A(0; 3)$, $B(4; 0)$, $0$, $x$, $y$

в) $A(-2; 4)$, $120^\circ$, $0$, $x$, $y$

г) $B$, $d=4$, $60^\circ$, $A$, $0$, $x$, $y$

Рис. 1.40

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Преобразуем данное уравнение к этому виду.

$-2x - 3y = 4$

$-3y = 2x + 4$

Разделим обе части уравнения на -3:

$y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$

Угловой коэффициент $k$ равен коэффициенту при $x$.

Ответ: $k = -\frac{2}{3}$.

2) Уравнение $y = -5$ задает горизонтальную прямую. Его можно представить в виде $y = 0 \cdot x - 5$.

Угловой коэффициент такой прямой равен нулю.

Ответ: $k = 0$.

3) Уравнение $x = 3$ задает вертикальную прямую, параллельную оси $y$. Угол наклона такой прямой к оси $x$ составляет $90^\circ$.

Тангенс угла $90^\circ$ не определен, поэтому угловой коэффициент для вертикальной прямой не существует.

Ответ: угловой коэффициент не существует.

4) Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Эта формула справедлива при условии, что $x_1 \neq x_2$ (т.е. прямая не является вертикальной).

Ответ: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (при $x_1 \neq x_2$).

а)

Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона прямой $\alpha$ к положительному направлению оси $x$. Из рисунка видно, что $\alpha = 30^\circ$.

$k = \tan(\alpha) = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

б)

Прямая проходит через две точки: $A(0; 3)$ и $B(4; 0)$. Воспользуемся формулой углового коэффициента для двух точек $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 3}{4 - 0} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $k = -\frac{3}{4}$.

в)

Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ равен $\alpha = 120^\circ$. Угловой коэффициент равен тангенсу этого угла. (Примечание: графическое изображение прямой на оригинальном рисунке некорректно, так как прямая с углом наклона $120^\circ$ должна иметь отрицательный наклон, но нарисована с положительным. Решение основано на указанном числовом значении угла).

$k = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $k = -\sqrt{3}$.

г)

На рисунке показано, что прямая образует с положительным направлением оси $x$ острый угол $60^\circ$, но прямая является убывающей (наклонена влево). Это означает, что угол наклона $\alpha$ является тупым и смежным с углом $60^\circ$.

$\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Угловой коэффициент равен:

$k = \tan(\alpha) = \tan(120^\circ) = -\sqrt{3}$.

Ответ: $k = -\sqrt{3}$.