Номер 1.170, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.170. Напишите уравнения прямых, изображенных на рис. 1.40, а), б), в), г). Найдите:
1) направляющий вектор;
2) вектор нормали;
3) угловой коэффициент этих прямых.

Для решения данной задачи необходимы изображения прямых с рисунка 1.40. Поскольку изображения отсутствуют, в ответе будет продемонстрирован общий метод решения на четырёх гипотетических примерах, которые могут соответствовать прямым, обозначенным буквами а), б), в) и г).

Общий подход к решению:
1. По графику прямой определить координаты двух удобных точек, через которые она проходит. Обозначим их $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$.
2. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
3. Из канонического уравнения получить общее уравнение прямой вида $Ax + By + C = 0$ и, если возможно, уравнение с угловым коэффициентом вида $y = kx + b$.
4. Найти требуемые характеристики прямой:
- Направляющий вектор $\vec{s}=(l, m)$ — его координаты равны знаменателям в каноническом уравнении: $l=x_2-x_1$, $m=y_2-y_1$.
- Вектор нормали $\vec{n}=(A, B)$ — его координаты равны коэффициентам при $x$ и $y$ в общем уравнении.
- Угловой коэффициент $k$ — равен коэффициенту при $x$ в уравнении $y = kx + b$. Его также можно найти по формулам $k = -A/B$ или $k=m/l$.

а)

Предположим, что прямая а) проходит через точки $M_1(1, 2)$ и $M_2(3, 6)$.
Уравнение прямой:
Составим каноническое уравнение: $\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{6 - 2} \implies \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4}$.
Упростим, умножив обе части на 4: $2(x - 1) = y - 2 \implies 2x - 2 = y - 2 \implies y = 2x$.
Общее уравнение: $2x - y = 0$.
Уравнение с угловым коэффициентом: $y = 2x$.

1) Направляющий вектор:
Из канонического уравнения $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4}$ координаты направляющего вектора $\vec{s}=(2, 4)$. Можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив координаты на 2: $\vec{s}=(1, 2)$.

2) Вектор нормали:
Из общего уравнения $2x - 1y + 0 = 0$ координаты вектора нормали $\vec{n}=(2, -1)$.

3) Угловой коэффициент:
Из уравнения $y=2x$ угловой коэффициент $k=2$.

Ответ: Уравнение: $2x-y=0$. 1) Направляющий вектор: $\vec{s}=(1, 2)$. 2) Вектор нормали: $\vec{n}=(2, -1)$. 3) Угловой коэффициент: $k=2$.

б)

Предположим, что прямая б) проходит через точки $M_1(-1, 3)$ и $M_2(5, 0)$.
Уравнение прямой:
Каноническое уравнение: $\frac{x - (-1)}{5 - (-1)} = \frac{y - 3}{0 - 3} \implies \frac{x + 1}{6} = \frac{y - 3}{-3}$.
Упростим, умножив на 6: $x + 1 = -2(y - 3) \implies x + 1 = -2y + 6 \implies x + 2y - 5 = 0$.
Общее уравнение: $x + 2y - 5 = 0$.
Уравнение с угловым коэффициентом: $2y = -x + 5 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

1) Направляющий вектор:
Из канонического уравнения $\vec{s}=(6, -3)$. Упрощенный коллинеарный вектор: $\vec{s}=(2, -1)$.

2) Вектор нормали:
Из общего уравнения $1x + 2y - 5 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(1, 2)$.

3) Угловой коэффициент:
Из уравнения $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$.

Ответ: Уравнение: $x+2y-5=0$. 1) Направляющий вектор: $\vec{s}=(2, -1)$. 2) Вектор нормали: $\vec{n}=(1, 2)$. 3) Угловой коэффициент: $k = -1/2$.

в)

Предположим, что прямая в) — горизонтальная и проходит через точку $M_1(0, -3)$.
Уравнение прямой:
Для любой точки на этой прямой координата $y$ равна -3. Уравнение имеет вид $y = -3$.
Общее уравнение: $0x + 1y + 3 = 0$.
Каноническое уравнение в стандартной форме не используется.

1) Направляющий вектор:
Прямая параллельна оси Ox, поэтому ее направляющий вектор коллинеарен вектору оси Ox. $\vec{s}=(1, 0)$.

2) Вектор нормали:
Из общего уравнения $0x + 1y + 3 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(0, 1)$. Он перпендикулярен прямой.

3) Угловой коэффициент:
Для любой горизонтальной прямой угловой коэффициент $k=0$.

Ответ: Уравнение: $y+3=0$. 1) Направляющий вектор: $\vec{s}=(1, 0)$. 2) Вектор нормали: $\vec{n}=(0, 1)$. 3) Угловой коэффициент: $k=0$.

г)

Предположим, что прямая г) — вертикальная и проходит через точку $M_1(4, 0)$.
Уравнение прямой:
Для любой точки на этой прямой координата $x$ равна 4. Уравнение имеет вид $x = 4$.
Общее уравнение: $1x + 0y - 4 = 0$.
Уравнение с угловым коэффициентом для такой прямой не существует.

1) Направляющий вектор:
Прямая параллельна оси Oy, поэтому ее направляющий вектор коллинеарен вектору оси Oy. $\vec{s}=(0, 1)$.

2) Вектор нормали:
Из общего уравнения $1x + 0y - 4 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(1, 0)$. Он перпендикулярен прямой.

3) Угловой коэффициент:
Для любой вертикальной прямой угловой коэффициент не определен.

Ответ: Уравнение: $x-4=0$. 1) Направляющий вектор: $\vec{s}=(0, 1)$. 2) Вектор нормали: $\vec{n}=(1, 0)$. 3) Угловой коэффициент: не определен.