Номер 1.168, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.168. Даны координаты вершин треугольника $ABC$: $A(2; 1)$, $B(-1; 4)$ и $C(3; -2)$. Найдите:

1) уравнения сторон $AB, AC, BC$;

2) уравнения прямых, проходящих через высоты $AH_1, BH_2, CH_3$;

3) углы треугольника;

4) длины высот.

1) уравнения сторон AB, AC, BC;

Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
- Уравнение стороны AB, проходящей через точки A(2; 1) и B(-1; 4):
$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - 1}{4 - 1}$
$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y - 1}{3}$
$x - 2 = -(y - 1)$
$x + y - 3 = 0$

- Уравнение стороны AC, проходящей через точки A(2; 1) и C(3; -2):
$\frac{x - 2}{3 - 2} = \frac{y - 1}{-2 - 1}$
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{-3}$
$-3(x - 2) = y - 1$
$3x + y - 7 = 0$

- Уравнение стороны BC, проходящей через точки B(-1; 4) и C(3; -2):
$\frac{x - (-1)}{3 - (-1)} = \frac{y - 4}{-2 - 4}$
$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 4}{-6}$
$-3(x + 1) = 2(y - 4)$
$3x + 2y - 5 = 0$

Ответ: Уравнение стороны AB: $x + y - 3 = 0$. Уравнение стороны AC: $3x + y - 7 = 0$. Уравнение стороны BC: $3x + 2y - 5 = 0$.

2) уравнения прямых, проходящих через высоты AH₁, BH₂, CH₃;

Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Угловой коэффициент $k_h$ прямой, содержащей высоту, и угловой коэффициент $k_s$ соответствующей стороны связаны соотношением $k_h = -1/k_s$. Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$.
- Высота AH₁ проведена из вершины A(2; 1) к стороне BC. Угловой коэффициент прямой BC ($y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$) равен $k_{BC} = -\frac{3}{2}$. Угловой коэффициент высоты AH₁: $k_{AH_1} = -1/(-\frac{3}{2}) = \frac{2}{3}$.
Уравнение AH₁:
$y - 1 = \frac{2}{3}(x - 2)$
$3y - 3 = 2x - 4$
$2x - 3y - 1 = 0$

- Высота BH₂ проведена из вершины B(-1; 4) к стороне AC. Угловой коэффициент прямой AC ($y = -3x + 7$) равен $k_{AC} = -3$. Угловой коэффициент высоты BH₂: $k_{BH_2} = -1/(-3) = \frac{1}{3}$.
Уравнение BH₂:
$y - 4 = \frac{1}{3}(x + 1)$
$3y - 12 = x + 1$
$x - 3y + 13 = 0$

- Высота CH₃ проведена из вершины C(3; -2) к стороне AB. Угловой коэффициент прямой AB ($y = -x + 3$) равен $k_{AB} = -1$. Угловой коэффициент высоты CH₃: $k_{CH_3} = -1/(-1) = 1$.
Уравнение CH₃:
$y - (-2) = 1(x - 3)$
$y + 2 = x - 3$
$x - y - 5 = 0$

Ответ: Уравнение высоты AH₁: $2x - 3y - 1 = 0$. Уравнение высоты BH₂: $x - 3y + 13 = 0$. Уравнение высоты CH₃: $x - y - 5 = 0$.

3) углы треугольника;

Углы треугольника найдем с помощью скалярного произведения векторов. Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
Найдем векторы, исходящие из вершин:
$\vec{AB} = (-1-2, 4-1) = (-3, 3)$
$\vec{AC} = (3-2, -2-1) = (1, -3)$
$\vec{BA} = (3, -3)$, $\vec{BC} = (4, -6)$
$\vec{CA} = (-1, 3)$, $\vec{CB} = (-4, 6)$

- Угол A (между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$):
$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{(-3)(1) + (3)(-3)}{\sqrt{(-3)^2+3^2}\sqrt{1^2+(-3)^2}} = \frac{-12}{\sqrt{18}\sqrt{10}} = \frac{-12}{\sqrt{180}} = \frac{-12}{6\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$
$A = \arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

- Угол B (между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$):
$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(3)(4) + (-3)(-6)}{\sqrt{3^2+(-3)^2}\sqrt{4^2+(-6)^2}} = \frac{12+18}{\sqrt{18}\sqrt{52}} = \frac{30}{\sqrt{936}} = \frac{30}{6\sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$
$B = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)$

- Угол C (между векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$):
$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} = \frac{(-1)(-4) + (3)(6)}{\sqrt{(-1)^2+3^2}\sqrt{(-4)^2+6^2}} = \frac{4+18}{\sqrt{10}\sqrt{52}} = \frac{22}{\sqrt{520}} = \frac{22}{2\sqrt{130}} = \frac{11}{\sqrt{130}}$
$C = \arccos\left(\frac{11}{\sqrt{130}}\right)$

Ответ: Угол A: $\arccos\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$. Угол B: $\arccos\left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)$. Угол C: $\arccos\left(\frac{11}{\sqrt{130}}\right)$.

4) длины высот.

Длину высоты можно найти как расстояние от вершины до прямой, содержащей противолежащую сторону. Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
- Длина высоты AH₁, опущенной из точки A(2; 1) на прямую BC ($3x+2y-5=0$):
$|AH_1| = \frac{|3(2) + 2(1) - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 2 - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}$

- Длина высоты BH₂, опущенной из точки B(-1; 4) на прямую AC ($3x+y-7=0$):
$|BH_2| = \frac{|3(-1) + 1(4) - 7|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|-3 + 4 - 7|}{\sqrt{10}} = \frac{|-6|}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}}$

- Длина высоты CH₃, опущенной из точки C(3; -2) на прямую AB ($x+y-3=0$):
$|CH_3| = \frac{|1(3) + 1(-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|3 - 2 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

Ответ: Длина высоты AH₁: $\frac{3}{\sqrt{13}}$. Длина высоты BH₂: $\frac{6}{\sqrt{10}}$. Длина высоты CH₃: $\sqrt{2}$.