Номер 1.164, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.164. Найдите направляющий вектор, вектор нормали и угловой коэффициент прямой:

1) $x+y+4=0;$

2) $2x-y-3=0;$

3) $3x+4y-1=0;$

4) $2y-x+3=0;$

5) $5x+6y=0;$

6) $x-y=0.$

Для нахождения искомых величин воспользуемся свойствами прямой, заданной общим уравнением $Ax+By+C=0$.

Вектор нормали (вектор, перпендикулярный прямой) имеет координаты $\vec{n}=(A, B)$.

Направляющий вектор (вектор, параллельный прямой) имеет координаты $\vec{s}=(-B, A)$, так как он должен быть перпендикулярен вектору нормали (их скалярное произведение равно нулю: $A \cdot (-B) + B \cdot A = 0$).

Угловой коэффициент $k$ можно найти, выразив $y$ из общего уравнения: $By = -Ax - C \Rightarrow y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$. Следовательно, угловой коэффициент $k = -\frac{A}{B}$ (при условии, что $B \neq 0$).

1) Для прямой $x+y+4=0$ коэффициенты равны $A=1$, $B=1$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(1, 1)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-1, 1)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{1}{1} = -1$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-1, 1)$, вектор нормали $\vec{n}=(1, 1)$, угловой коэффициент $k=-1$.

2) Для прямой $2x-y-3=0$ коэффициенты равны $A=2$, $B=-1$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(2, -1)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-(-1), 2) = (1, 2)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{2}{-1} = 2$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(1, 2)$, вектор нормали $\vec{n}=(2, -1)$, угловой коэффициент $k=2$.

3) Для прямой $3x+4y-1=0$ коэффициенты равны $A=3$, $B=4$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(3, 4)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-4, 3)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{3}{4}$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-4, 3)$, вектор нормали $\vec{n}=(3, 4)$, угловой коэффициент $k=-3/4$.

4) Для прямой $2y-x+3=0$, которую можно записать в стандартном виде $-x+2y+3=0$, коэффициенты равны $A=-1$, $B=2$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(-1, 2)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-2, -1)$. Любой коллинеарный ему вектор, например $(2, 1)$, также является направляющим.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-2, -1)$ или $\vec{s}=(2, 1)$, вектор нормали $\vec{n}=(-1, 2)$, угловой коэффициент $k=\frac{1}{2}$.

5) Для прямой $5x+6y=0$ коэффициенты равны $A=5$, $B=6$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(5, 6)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-6, 5)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{5}{6}$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-6, 5)$, вектор нормали $\vec{n}=(5, 6)$, угловой коэффициент $k=-5/6$.

6) Для прямой $x-y=0$ коэффициенты равны $A=1$, $B=-1$.
Вектор нормали: $\vec{n}=(1, -1)$.
Направляющий вектор: $\vec{s}=(-(-1), 1) = (1, 1)$.
Угловой коэффициент: $k = -\frac{1}{-1} = 1$.
Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(1, 1)$, вектор нормали $\vec{n}=(1, -1)$, угловой коэффициент $k=1$.