Номер 1.162, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.162. Напишите уравнение прямой, проходящей через заданные точки:

1) $A(1; 0), B(0; 1)$;

2) $M_1(-3; 4), M_2(5; 2)$;

3) $C(0; -3), D(4; 1)$;

4) $H(\frac{1}{2}; \frac{1}{3}), K(-2.5; 1\frac{1}{3})$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, используется следующая формула:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Эта формула справедлива, если $x_1 \ne x_2$ и $y_1 \ne y_2$. Если $x_1 = x_2$, то уравнение прямой $x = x_1$. Если $y_1 = y_2$, то уравнение прямой $y = y_1$.

1) A(1; 0), B(0; 1)

Подставим координаты точек A(1; 0) и B(0; 1) в формулу:

$x_1 = 1, y_1 = 0$

$x_2 = 0, y_2 = 1$

$\frac{x - 1}{0 - 1} = \frac{y - 0}{1 - 0}$

$\frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{1}$

$-(x - 1) = y$

$-x + 1 = y$

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$x + y - 1 = 0$

Примечание: Поскольку точки A(1; 0) и B(0; 1) являются точками пересечения прямой с осями координат, можно использовать уравнение прямой в отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где $a=1$ – x-перехват и $b=1$ – y-перехват. Получаем $\frac{x}{1} + \frac{y}{1} = 1$, что эквивалентно $x + y - 1 = 0$.

Ответ: $x + y - 1 = 0$

2) M₁(-3; 4), M₂(5; 2)

Подставим координаты точек M₁(-3; 4) и M₂(5; 2) в формулу:

$x_1 = -3, y_1 = 4$

$x_2 = 5, y_2 = 2$

$\frac{x - (-3)}{5 - (-3)} = \frac{y - 4}{2 - 4}$

$\frac{x + 3}{8} = \frac{y - 4}{-2}$

Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$-2(x + 3) = 8(y - 4)$

Разделим обе части на -2:

$x + 3 = -4(y - 4)$

$x + 3 = -4y + 16$

Перенесем все члены в левую часть:

$x + 4y - 13 = 0$

Ответ: $x + 4y - 13 = 0$

3) C(0; -3), D(4; 1)

Подставим координаты точек C(0; -3) и D(4; 1) в формулу:

$x_1 = 0, y_1 = -3$

$x_2 = 4, y_2 = 1$

$\frac{x - 0}{4 - 0} = \frac{y - (-3)}{1 - (-3)}$

$\frac{x}{4} = \frac{y + 3}{4}$

Умножим обе части на 4:

$x = y + 3$

Приведем уравнение к общему виду:

$x - y - 3 = 0$

Примечание: Так как точка C(0; -3) является точкой пересечения с осью Oy, мы можем использовать уравнение с угловым коэффициентом $y = kx + b$, где $b = -3$. Подставив координаты точки D(4; 1), найдем $k$: $1 = k \cdot 4 - 3 \implies 4k = 4 \implies k = 1$. Уравнение прямой: $y = x - 3$, или $x - y - 3 = 0$.

Ответ: $x - y - 3 = 0$

4) H(1/2; 1/3), K(-2,5; 1 1/3)

Преобразуем координаты точек в обыкновенные дроби:

$H(\frac{1}{2}; \frac{1}{3})$

$K(-2,5; 1 \frac{1}{3}) = K(-\frac{5}{2}; \frac{4}{3})$

Подставим координаты в формулу:

$x_1 = \frac{1}{2}, y_1 = \frac{1}{3}$

$x_2 = -\frac{5}{2}, y_2 = \frac{4}{3}$

$\frac{x - \frac{1}{2}}{-\frac{5}{2} - \frac{1}{2}} = \frac{y - \frac{1}{3}}{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}$

Вычислим значения в знаменателях:

$x_2 - x_1 = -\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} = -3$

$y_2 - y_1 = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

Подставим полученные значения в уравнение:

$\frac{x - \frac{1}{2}}{-3} = \frac{y - \frac{1}{3}}{1}$

$x - \frac{1}{2} = -3(y - \frac{1}{3})$

$x - \frac{1}{2} = -3y + 1$

$x + 3y = 1 + \frac{1}{2}$

$x + 3y = \frac{3}{2}$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2(x + 3y) = 3$

$2x + 6y = 3$

Приведем к общему виду:

$2x + 6y - 3 = 0$

Ответ: $2x + 6y - 3 = 0$