Номер 1.161, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.161. Напишите уравнение прямой, заданной направляющим вектором $\vec{p}$ и точкой $M_0(x_0; y_0)$:

1) $\vec{p}=(2; -1)$, $M_0(-3; 2)$;

2) $\vec{p}=(-3; 4)$, $M_0(3; 5)$;

3) $\vec{p}=(0,5; 2,5)$, $M_0(5; 1)$;

4) $\vec{p}=\left(\frac{1}{3}; 1\frac{1}{2}\right)$, $M_0(0; 1)$.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0)$ и имеющей направляющий вектор $\vec{p}=(l; m)$, имеет вид: $ \frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} $. Из этого уравнения можно получить общее уравнение прямой вида $Ax+By+C=0$.

1) Даны направляющий вектор $\vec{p}=(2; -1)$ и точка $M_0(-3; 2)$. Подставим координаты точки $x_0 = -3$, $y_0 = 2$ и координаты вектора $l=2$, $m=-1$ в каноническое уравнение прямой: $ \frac{x - (-3)}{2} = \frac{y - 2}{-1} $, что равносильно $ \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} $. Преобразуем полученное уравнение в общее уравнение прямой, используя свойство пропорции: $ -1 \cdot (x + 3) = 2 \cdot (y - 2) $. Раскрыв скобки, получаем $ -x - 3 = 2y - 4 $. Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $ -x - 2y - 3 + 4 = 0 $, что дает $ -x - 2y + 1 = 0 $. Для удобства умножим обе части уравнения на -1: $ x + 2y - 1 = 0 $. Ответ: $x + 2y - 1 = 0$.

2) Даны направляющий вектор $\vec{p}=(-3; 4)$ и точка $M_0(3; 5)$. Подставим координаты точки $x_0 = 3$, $y_0 = 5$ и координаты вектора $l=-3$, $m=4$ в каноническое уравнение: $ \frac{x - 3}{-3} = \frac{y - 5}{4} $. Применим свойство пропорции: $ 4 \cdot (x - 3) = -3 \cdot (y - 5) $. Раскроем скобки: $ 4x - 12 = -3y + 15 $. Перенесем все члены в левую часть: $ 4x + 3y - 12 - 15 = 0 $. Окончательно получаем общее уравнение прямой: $ 4x + 3y - 27 = 0 $. Ответ: $4x + 3y - 27 = 0$.

3) Даны направляющий вектор $\vec{p}=(0,5; 2,5)$ и точка $M_0(5; 1)$. Координаты направляющего вектора можно упростить, умножив их на одно и то же число. Умножим координаты вектора $\vec{p}$ на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: $\vec{p'} = 2 \cdot (0,5; 2,5) = (1; 5)$. Теперь используем точку $M_0(5; 1)$ ($x_0 = 5, y_0 = 1$) и новый направляющий вектор $\vec{p'}=(1; 5)$ ($l=1, m=5$). Каноническое уравнение: $ \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{5} $. Преобразуем его: $ 5(x - 5) = 1(y - 1) $, что дает $ 5x - 25 = y - 1 $. Переносим все члены в одну сторону: $ 5x - y - 25 + 1 = 0 $. Получаем общее уравнение: $ 5x - y - 24 = 0 $. Ответ: $5x - y - 24 = 0$.

4) Даны направляющий вектор $\vec{p}=(\frac{1}{3}; 1\frac{1}{2})$ и точка $M_0(0; 1)$. Сначала преобразуем координаты вектора. $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, поэтому $\vec{p}=(\frac{1}{3}; \frac{3}{2})$. Чтобы избавиться от дробей, умножим координаты на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6: $\vec{p'} = 6 \cdot (\frac{1}{3}; \frac{3}{2}) = (2; 9)$. Теперь используем точку $M_0(0; 1)$ ($x_0 = 0, y_0 = 1$) и направляющий вектор $\vec{p'}=(2; 9)$ ($l=2, m=9$). Каноническое уравнение: $ \frac{x - 0}{2} = \frac{y - 1}{9} $ или $ \frac{x}{2} = \frac{y - 1}{9} $. Преобразуем в общее уравнение: $ 9x = 2(y - 1) $, то есть $ 9x = 2y - 2 $. Переносим все члены в левую часть: $ 9x - 2y + 2 = 0 $. Ответ: $9x - 2y + 2 = 0$.