Номер 1.155, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.155. Найдите длины биссектрис треугольника, стороны которого равны $a$, $b$ и $c$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $BC=a$, $AC=b$ и $AB=c$. Найдем длину биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.

Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$, где $D$ — точка на стороне $BC$. Длина отрезка $AD$ равна $l_a$.

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ADC$.

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ADC}$

Площадь треугольника можно выразить через две стороны и синус угла между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A = \frac{1}{2} bc \sin A$

Поскольку $AD$ — биссектриса, то $\angle BAD = \angle CAD = \frac{A}{2}$. Тогда площади треугольников $ABD$ и $ADC$ равны:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \sin(\frac{A}{2}) = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{A}{2})$

$S_{ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \sin(\frac{A}{2}) = \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{A}{2})$

Подставим эти выражения в формулу для площади всего треугольника:

$\frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} c l_a \sin(\frac{A}{2}) + \frac{1}{2} b l_a \sin(\frac{A}{2})$

Умножим обе части на 2 и вынесем общий множитель $l_a \sin(\frac{A}{2})$ за скобки:

$bc \sin A = l_a (b+c) \sin(\frac{A}{2})$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$:

$bc \cdot 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}) = l_a (b+c) \sin(\frac{A}{2})$

Так как для любого угла $A$ треугольника $0 < A < 180^\circ$, то $0 < \frac{A}{2} < 90^\circ$, и $\sin(\frac{A}{2}) \neq 0$. Следовательно, можно сократить на $\sin(\frac{A}{2})$:

$2bc \cos(\frac{A}{2}) = l_a (b+c)$

Отсюда выразим длину биссектрисы $l_a$:

$l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(\frac{A}{2})$

Теперь необходимо выразить $\cos(\frac{A}{2})$ через стороны треугольника $a, b, c$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Используем формулу половинного угла для косинуса: $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{1 + \cos A}{2}$.

$\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{2} = \frac{\frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{2} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{4bc}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)$:

$\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{4bc}$

Введем полупериметр треугольника $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $a+b+c = 2p$ и $b+c-a = (a+b+c) - 2a = 2p - 2a = 2(p-a)$. Подставим эти выражения в формулу для косинуса:

$\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{2(p-a) \cdot 2p}{4bc} = \frac{p(p-a)}{bc}$

Поскольку угол $\frac{A}{2}$ острый, его косинус положителен, поэтому:

$\cos(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$

Подставим найденное выражение для $\cos(\frac{A}{2})$ в формулу для $l_a$:

$l_a = \frac{2bc}{b+c} \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} = \frac{2bc}{b+c} \frac{\sqrt{p(p-a)}}{\sqrt{bc}} = \frac{2\sqrt{bc}}{b+c}\sqrt{p(p-a)}$

Таким образом, формула для длины биссектрисы угла $A$:

$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$

Аналогично, путем циклической перестановки переменных $a, b, c$, получаем формулы для длин двух других биссектрис $l_b$ и $l_c$.

Длина биссектрисы $l_b$, проведенной из вершины $B$ к стороне $b$:

$l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$

Длина биссектрисы $l_c$, проведенной из вершины $C$ к стороне $c$:

$l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$

Во всех формулах $p$ — полупериметр треугольника, вычисляемый как $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Ответ: Длины биссектрис $l_a, l_b, l_c$ треугольника со сторонами $a, b, c$ выражаются формулами:
$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$
$l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$
$l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$
где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.