Номер 1.151, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.151. Даны точки $A(0; 0)$, $B(4; 4)$, $C(0; 8)$, $D(-4; 4)$. Покажите, что четырехугольник $ABCD$ — квадрат.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны между собой, а также что его диагонали равны между собой.

Для вычисления длин сторон и диагоналей воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Сначала найдем длины всех сторон четырехугольника:
Длина стороны $AB$ между точками $A(0; 0)$ и $B(4; 4)$:$|AB| = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.
Длина стороны $BC$ между точками $B(4; 4)$ и $C(0; 8)$:$|BC| = \sqrt{(0 - 4)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.
Длина стороны $CD$ между точками $C(0; 8)$ и $D(-4; 4)$:$|CD| = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.
Длина стороны $DA$ между точками $D(-4; 4)$ и $A(0; 0)$:$|DA| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Поскольку $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{32}$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что четырехугольник $ABCD$ является ромбом.

Теперь найдем длины его диагоналей:
Длина диагонали $AC$ между точками $A(0; 0)$ и $C(0; 8)$:$|AC| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{0 + 64} = \sqrt{64} = 8$.
Длина диагонали $BD$ между точками $B(4; 4)$ и $D(-4; 4)$:$|BD| = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.

Диагонали равны между собой: $|AC| = |BD| = 8$.

Так как четырехугольник $ABCD$ является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Для наглядности можно изобразить данный четырехугольник на координатной плоскости.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $ABCD$ является квадратом, так как все его стороны равны ($\sqrt{32}$), а диагонали равны (8).