Номер 1.174, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.174. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(-2; 1)$ и:

1) параллельной;

2) перпендикулярной вектору $\vec{AB}$. Здесь $A(0; 1)$, $B(4; -3)$.

Для решения задачи сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$. Подставим в формулу координаты данных точек $A(0; 1)$ и $B(4; -3)$: $\vec{AB} = (4 - 0, -3 - 1) = (4, -4)$.

1) Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(-2; 1)$ и параллельной вектору $\vec{AB}$. Если прямая параллельна вектору, то этот вектор является ее направляющим вектором. Следовательно, направляющий вектор искомой прямой $\vec{s} = \vec{AB} = (4, -4)$. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с направляющим вектором $\vec{s} = (l, m)$, имеет вид: $\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m}$. Подставляем координаты точки $M_0(-2; 1)$ и направляющего вектора $\vec{s} = (4, -4)$: $\frac{x - (-2)}{4} = \frac{y - 1}{-4}$ $\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{-4}$. Упростим полученное уравнение, чтобы получить общее уравнение прямой. Для этого можно умножить обе части на 4: $x + 2 = \frac{y - 1}{-1}$ $-(x + 2) = y - 1$ $-x - 2 = y - 1$ Перенесем все члены в левую часть: $-x - y - 2 + 1 = 0$ $-x - y - 1 = 0$ Умножим на -1 для более удобного вида: $x + y + 1 = 0$.
Ответ: $x + y + 1 = 0$.

2) Требуется написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(-2; 1)$ и перпендикулярной вектору $\vec{AB}$. Если прямая перпендикулярна вектору, то этот вектор является ее нормальным вектором. Следовательно, нормальный вектор искомой прямой $\vec{n} = \vec{AB} = (4, -4)$. Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ и имеющей нормальный вектор $\vec{n} = (A, B)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$. Подставляем координаты точки $M_0(-2; 1)$ и нормального вектора $\vec{n} = (4, -4)$: $4(x - (-2)) - 4(y - 1) = 0$ $4(x + 2) - 4(y - 1) = 0$. Разделим все уравнение на 4: $(x + 2) - (y - 1) = 0$ $x + 2 - y + 1 = 0$ $x - y + 3 = 0$.
Ответ: $x - y + 3 = 0$.