Номер 1.179, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.179. Каков смысл выражения:

1) $\vec{AC} = \vec{BD}$;

2) $\vec{PO} = k \vec{AK}$;

3) $\vec{AK} = \lambda \vec{AC}$;

4) $\vec{AK} = 0,5 \vec{AC}$;

5) $\vec{AB} = \vec{BC}$;

6) $\vec{AB} = -\vec{AC}$;

7) $\vec{AB} + \vec{AK} + \vec{BD} = 0$;

8) $|\vec{AB} + \vec{BD}| = |\vec{AB}| + |\vec{BD}|?$

1) $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$
Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину и одинаковое направление (сонаправлены), а также лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Геометрически это означает, что вектор $\overrightarrow{AC}$ можно получить из вектора $\overrightarrow{BD}$ путем параллельного переноса. Также это означает, что четырехугольник ABDC является параллелограммом (обратите внимание на порядок вершин).
Ответ: Векторы $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ равны, то есть они сонаправлены и их длины равны ($|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|$).

2) $\overrightarrow{PO} = k \overrightarrow{AK}$
Это выражение означает, что векторы $\overrightarrow{PO}$ и $\overrightarrow{AK}$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коэффициент $k$ — это скаляр, который показывает соотношение их длин и направлений.

• Если $k > 0$, векторы сонаправлены.
• Если $k < 0$, векторы направлены в противоположные стороны.
• Если $k = 0$, то $\overrightarrow{PO} = \vec{0}$, что означает, что точки P и O совпадают.

3) $\overrightarrow{AK} = \lambda \overrightarrow{AC}$
Это условие коллинеарности векторов $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{AC}$. Поскольку у этих векторов общее начало в точке A, это означает, что точки A, K и C лежат на одной прямой. Положение точки K относительно A и C зависит от значения $\lambda$:

• Если $0 < \lambda < 1$, точка K лежит между точками A и C.
• Если $\lambda > 1$, точка C лежит между точками A и K.
• Если $\lambda < 0$, точка A лежит между точками K и C.
• Если $\lambda=1$, точки K и C совпадают.
• Если $\lambda=0$, точки K и A совпадают.

4) $\overrightarrow{AK} = 0,5 \overrightarrow{AC}$
Это частный случай предыдущего пункта, где $\lambda = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, точка K лежит на отрезке AC. Равенство означает, что вектор $\overrightarrow{AK}$ сонаправлен с вектором $\overrightarrow{AC}$, а его длина в два раза меньше длины вектора $\overrightarrow{AC}$: $|\overrightarrow{AK}| = 0,5 |\overrightarrow{AC}|$.
Ответ: Точка K является серединой отрезка AC.

5) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$
Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ равны. Это означает, что они имеют одинаковое направление и одинаковую длину. Поскольку конец первого вектора (точка B) является началом второго, для того чтобы они были сонаправлены, точки A, B и C должны лежать на одной прямой. Равенство длин $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}|$ означает, что точка B находится на одинаковом расстоянии от A и C.
Ответ: Точка B является серединой отрезка AC.

6) $\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{AC}$
Равенство означает, что вектор $\overrightarrow{AB}$ противоположен вектору $\overrightarrow{AC}$. Это значит, что они имеют равные длины ($|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}|$) и противоположные направления, но лежат на одной прямой, так как имеют общее начало в точке А.
Ответ: Точка A является серединой отрезка BC.

7) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BD} = 0$
Это равенство означает, что сумма трех векторов равна нулевому вектору. Используя правило сложения векторов (правило треугольника или многоугольника), мы можем упростить выражение. Сгруппируем слагаемые: $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{AK} = 0$. Сумма $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}$ по правилу треугольника равна вектору $\overrightarrow{AD}$. Таким образом, равенство принимает вид: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AK} = 0$, откуда следует, что $\overrightarrow{AD} = - \overrightarrow{AK}$. Это означает, что векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AK}$ имеют одинаковые длины и противоположные направления. Так как у них общее начало в точке A, точка A является серединой отрезка DK.
Ответ: Точка A является серединой отрезка, соединяющего точки D и K.

8) $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BD}|$
Это выражение сравнивает модуль суммы векторов с суммой их модулей. В общем случае для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо неравенство треугольника: $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. В данном случае $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ и $\vec{b} = \overrightarrow{BD}$. По правилу сложения векторов $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$. Таким образом, равенство можно переписать как $|\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BD}|$. Геометрически это означает, что длина отрезка AD равна сумме длин отрезков AB и BD. Это возможно только если точка B лежит на отрезке AD, что, в свою очередь, означает, что векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BD}$ сонаправлены.
Ответ: Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BD}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление).