Номер 1.185, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.185. Груз весом 60 кг подвешен в точке B на стержнях AB и CB так, как показано на рис. 1.42. Углы $ACB$ и $ABC$ равны $90^\circ$ и $30^\circ$ соответственно. Определите силы, воздействующие на стержни.

Рис. 1.42

Для решения задачи воспользуемся первым законом Ньютона (условием равновесия) для точки В, в которой сходятся стержни и подвешен груз. Система находится в статическом равновесии, это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на точку В, равна нулю.

1. Определение сил и геометрии

На точку В действуют три силы:

• Сила тяжести груза $\vec{P}$, направленная вертикально вниз.
• Сила реакции стержня АВ, $\vec{F}_{AB}$, направленная вдоль стержня.
• Сила реакции стержня СВ, $\vec{F}_{CB}$, направленная вдоль стержня.

Сначала найдем модуль силы тяжести (веса груза). Масса груза $m = 60$ кг. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

$P = m \cdot g = 60 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 588 \text{ Н}$

Рассмотрим геометрию системы. Треугольник АСВ является прямоугольным, так как по условию $\angle ACB = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому можем найти угол ВАС:

$\angle BAC = 180^\circ - \angle ACB - \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

Поскольку $\angle ACB = 90^\circ$, стержень CB горизонтален, а стена AC, к которой он крепится, вертикальна. Угол, который стержень АВ образует с горизонтальным стержнем СВ, равен $\angle ABC = 30^\circ$. Этот угол нам понадобится для разложения силы $\vec{F}_{AB}$ на компоненты.

2. Условия равновесия

Составим диаграмму сил, действующих на точку B, и введем систему координат с началом в точке В, осью ОХ, направленной горизонтально вправо, и осью ОY, направленной вертикально вверх.

Условие равновесия в векторной форме: $\vec{P} + \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{CB} = 0$.

Запишем это условие в проекциях на оси координат:

На ось OX: $F_{ABx} + F_{CBx} + P_x = 0$

На ось OY: $F_{ABy} + F_{CBy} + P_y = 0$

Проекции сил:

• $\vec{P}$: $P_x = 0$, $P_y = -P = -588$ Н
• $\vec{F}_{CB}$ (стержень сжат, сила направлена влево): $F_{CBx} = -F_{CB}$, $F_{CBy} = 0$
• $\vec{F}_{AB}$ (стержень растянут, сила направлена под углом 30° к горизонту): $F_{ABx} = F_{AB} \cos(30^\circ)$, $F_{ABy} = F_{AB} \sin(30^\circ)$

Подставляем проекции в уравнения равновесия:

OX: $F_{AB} \cos(30^\circ) - F_{CB} = 0$ (1)

OY: $F_{AB} \sin(30^\circ) - P = 0$ (2)

3. Расчет сил

Из уравнения (2) найдем силу, действующую на стержень АВ:

$F_{AB} \sin(30^\circ) = P$

$F_{AB} = \frac{P}{\sin(30^\circ)} = \frac{588 \text{ Н}}{0.5} = 1176 \text{ Н}$

Так как проекция силы на ось OY положительна, стержень АВ испытывает растяжение.

Теперь из уравнения (1) найдем силу, действующую на стержень СВ:

$F_{CB} = F_{AB} \cos(30^\circ)$

Используя значение $F_{AB} = 1176$ Н и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:

$F_{CB} = 1176 \text{ Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1176 \text{ Н} \cdot 0.866 = 1018.256 \text{ Н} \approx 1018 \text{ Н}$

Так как сила $\vec{F}_{CB}$ направлена против оси ОХ, стержень СВ испытывает сжатие.

Ответ: Сила, действующая на стержень АВ, является силой растяжения и равна $1176$ Н. Сила, действующая на стержень СВ, является силой сжатия и равна приблизительно $1018$ Н.