Номер 1.186, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.186. Дан треугольник, длины сторон которого равны $a$, $b$, $c$. Найдите:

1) косинус углов;

2) длины медиан;

3) длины биссектрис;

4) длины высот этого треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a, b, c$. Углы, противолежащие этим сторонам, обозначим как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно.

1) косинус углов

Для нахождения косинусов углов треугольника по известным длинам его сторон используется теорема косинусов. Для стороны $a$ теорема косинусов выглядит так: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$. Выразим из этой формулы косинус угла $\alpha$: $2bc \cos \alpha = b^2 + c^2 - a^2$, $\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Аналогично, по теореме косинусов для сторон $b$ и $c$, находим косинусы углов $\beta$ и $\gamma$: $\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$, $\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
Ответ: Косинусы углов $\alpha, \beta, \gamma$ равны $\cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$, $\cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$, $\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.

2) длины медиан

Длину медианы треугольника можно найти по формуле, которая является следствием теоремы косинусов (или по теореме Аполлония). Обозначим медианы, проведенные к сторонам $a, b, c$, как $m_a, m_b, m_c$ соответственно. Формула для квадрата длины медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$. Откуда длина медианы $m_a$ равна: $m_a = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$. По аналогии находим длины двух других медиан: $m_b = \frac{\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}}{2}$, $m_c = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$.
Ответ: Длины медиан $m_a, m_b, m_c$ равны $m_a = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2}$, $m_b = \frac{\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}}{2}$, $m_c = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$.

3) длины биссектрис

Обозначим биссектрисы углов $\alpha, \beta, \gamma$ как $l_a, l_b, l_c$ соответственно. Длину биссектрисы $l_a$ можно выразить через длины прилежащих сторон $b, c$ и косинус половины угла $\alpha$: $l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(\frac{\alpha}{2})$. Используем формулу половинного угла: $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$. Подставим выражение для $\cos \alpha$ из пункта 1: $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1 + \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}{2} = \frac{2bc + b^2 + c^2 - a^2}{4bc} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{4bc} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{4bc}$. Введем полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $b+c+a = 2p$ и $b+c-a = 2(p-a)$. $\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = \frac{2(p-a) \cdot 2p}{4bc} = \frac{p(p-a)}{bc}$. Следовательно, $\cos(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$. Подставив это в формулу для $l_a$, получаем: $l_a = \frac{2bc}{b+c} \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$. Аналогично для других биссектрис: $l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$, $l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$.
Ответ: Длины биссектрис $l_a, l_b, l_c$ равны $l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p-a)}$, $l_b = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-b)}$, $l_c = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.

4) длины высот

Обозначим высоты, опущенные на стороны $a, b, c$, как $h_a, h_b, h_c$ соответственно. Площадь треугольника $S$ можно выразить через длину стороны и высоту, опущенную на эту сторону: $S = \frac{1}{2} a h_a$. Отсюда $h_a = \frac{2S}{a}$. Площадь треугольника по трем сторонам можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр. Подставив выражение для площади в формулу для высоты, получаем: $h_a = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$. Аналогично для других высот: $h_b = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}$, $h_c = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$.
Ответ: Длины высот $h_a, h_b, h_c$ равны $h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $h_b = \frac{2}{b}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$ - полупериметр.