Номер 1.180, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.180. Определите геометрический смысл выражения:

1) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = |\vec{AB}| |\vec{BD}|$

2) $\vec{AB}^2 = 0$

3) $\vec{AB} \cdot \vec{PO} = 0$

4) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = -|\vec{AB}| |\vec{BD}|$

5) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \vec{OC} \cdot \vec{OD}$, $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=|\vec{OD}|$

1) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = |\vec{AB}||\vec{BD}|$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, где $\theta$ — угол между векторами. В данном случае, сравнивая выражение $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = |\vec{AB}||\vec{BD}|$ с определением скалярного произведения, мы видим, что $\cos\theta = 1$. Это означает, что угол $\theta$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ равен $0^\circ$. Нулевой угол между векторами означает, что они коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и сонаправлены (направлены в одну сторону). Поскольку векторы $\vec{AB}$ (вектор из A в B) и $\vec{BD}$ (вектор из B в D) имеют общую точку B, их коллинеарность означает, что точки A, B и D лежат на одной прямой. Так как они сонаправлены, точка B находится между точками A и D.

Ответ: Точки A, B и D лежат на одной прямой, причем точка B расположена между точками A и D.

2) $\vec{AB}^2 = 0$

Квадрат вектора (скалярный квадрат) есть скалярное произведение вектора на самого себя: $\vec{AB}^2 = \vec{AB} \cdot \vec{AB}$. По определению скалярного произведения, $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}||\vec{AB}|\cos(0^\circ) = |\vec{AB}|^2$. Таким образом, равенство $\vec{AB}^2 = 0$ эквивалентно равенству $|\vec{AB}|^2 = 0$. Модуль (длина) вектора $|\vec{AB}|$ является неотрицательной величиной. Его квадрат равен нулю тогда и только тогда, когда сам модуль равен нулю: $|\vec{AB}| = 0$. Модуль вектора $\vec{AB}$ — это расстояние между точками A и B. Если это расстояние равно нулю, значит, точки A и B совпадают.

Ответ: Точки A и B совпадают.

3) $\vec{AB} \cdot \vec{PO} = 0$

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если хотя бы один из векторов является нулевым, либо если векторы перпендикулярны (ортогональны). Из формулы $\vec{AB} \cdot \vec{PO} = |\vec{AB}||\vec{PO}|\cos\theta = 0$, если предположить, что оба вектора ненулевые (т.е. точки A и B не совпадают, и точки P и O не совпадают), следует, что $\cos\theta = 0$. Это возможно, когда угол $\theta$ между векторами равен $90^\circ$. Таким образом, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{PO}$ перпендикулярны. Геометрически это означает, что прямая, содержащая отрезок AB, перпендикулярна прямой, содержащей отрезок PO.

Ответ: Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{PO}$ перпендикулярны (или хотя бы один из них нулевой). Это означает, что прямая AB перпендикулярна прямой PO.

4) $\vec{AB} \cdot \vec{BD} = -|\vec{AB}||\vec{BD}|$

Используя определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, для данного выражения получаем, что $\cos\theta = -1$. Это означает, что угол $\theta$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ равен $180^\circ$. Угол в $180^\circ$ между векторами означает, что они коллинеарны и противоположно направлены. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BD}$ имеют общую точку B, поэтому они лежат на одной прямой. Поскольку они направлены в противоположные стороны (вектор из A в B и вектор из B в D), то луч BA и луч BD должны совпадать. Это означает, что точки D, B, A лежат на одной прямой в таком порядке.

Ответ: Точки A, B и D лежат на одной прямой, причем точка B расположена между точками D и A.

5) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \vec{OC} \cdot \vec{OD}$ , $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=|\vec{OD}|$

Условие $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=|\vec{OD}|$ означает, что точки A, B, C и D равноудалены от точки O. Геометрически это значит, что все четыре точки лежат на одной окружности (в двумерном случае) или сфере (в трехмерном случае) с центром в точке O. Обозначим этот радиус как $R$.
Распишем скалярные произведения, используя их определение:
$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos(\angle AOB) = R^2\cos(\angle AOB)$
$\vec{OC} \cdot \vec{OD} = |\vec{OC}||\vec{OD}|\cos(\angle COD) = R^2\cos(\angle COD)$
Приравнивая эти выражения, получаем: $R^2\cos(\angle AOB) = R^2\cos(\angle COD)$.
Если $R \neq 0$ (т.е. точки не совпадают с центром), то можно сократить на $R^2$, и мы получим $\cos(\angle AOB) = \cos(\angle COD)$.
Поскольку угол между векторами находится в диапазоне $[0, \pi]$, равенство косинусов означает равенство самих углов: $\angle AOB = \angle COD$.
Геометрически это означает, что центральные углы, стягиваемые дугами AB и CD, равны. В одной и той же окружности равным центральным углам соответствуют равные хорды. Длина хорды AB равна $|\vec{AB}|$, а длина хорды CD равна $|\vec{CD}|$. Таким образом, из равенства углов следует равенство длин хорд: $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$.

Ответ: Точки A, B, C, D лежат на окружности с центром в точке O, и хорды AB и CD, соединяющие эти точки, равны по длине.