Номер 1.187, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.187. Докажите, что сумма квадратов медиан треугольника составляет $\frac{3}{4}$ суммы квадратов его сторон.

Пусть дан треугольник со сторонами $a, b, c$. Медианы, проведенные к этим сторонам, обозначим как $m_a, m_b, m_c$ соответственно.



Для доказательства воспользуемся формулой для квадрата длины медианы треугольника. Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, выражается через длины сторон треугольника следующим образом:
$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$
Эта формула является следствием теоремы косинусов (также известна как теорема Аполлония).

Аналогично запишем выражения для квадратов длин двух других медиан:
$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$
$m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Теперь сложим квадраты длин всех трех медиан:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} + \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $4$ и сложим числители:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2 + 2c^2 - b^2) + (2a^2 + 2b^2 - c^2)}{4}$

Сгруппируем слагаемые в числителе:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{(-a^2 + 2a^2 + 2a^2) + (2b^2 - b^2 + 2b^2) + (2c^2 + 2c^2 - c^2)}{4}$

Выполним сложение:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3a^2 + 3b^2 + 3c^2}{4}$

Вынесем общий множитель $3$ за скобки в числителе:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2)}{4}$

Это выражение можно записать в виде:
$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов медиан треугольника составляет $\frac{3}{4}$ суммы квадратов его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2)$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $m_a, m_b, m_c$ — медианы, проведенные к этим сторонам.